AcWing 895. 最长上升子序列(线性dp)

给定一个长度为 N 的数列,求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式
第一行包含整数 N。

第二行包含 N 个整数,表示完整序列。

输出格式
输出一个整数,表示最大长度。

数据范围
1≤N≤1000,
−10 ^ 9≤数列中的数≤10 ^ 9

输入样例:
7
3 1 2 1 8 5 6

输出样例:
4

最长上升子序列–LIS问题

题意:给我们一条长度为n数列,从中找到一个长度严格递增子序列(可以有间隔),并且是最长的那一个,输出长度的最大值

Sample3 1 2 1 8 5 6中最长上升子序列是1 2 5 6,输出4

LIS是一道经典的线性dp问题。

由于题中的数列是一个一维的序列,因此我们可以用一个一维的数组dp,来进行状态表示和计算。

dp[i]状态表示

(从集合的角度分析dp问题,这很重要,因为dp能够优化问题的核心在于:它能表示一个集合一类一类地进行表示,大大提高了解决问题的效率。)

集合:所有以a[i]结尾的严格单调上升子序列。

属性Max(一般还有:CountMin

综合一下:dp[i]表示所有以a[i]结尾的严格单调上升子序列长度的Max值。

dp[i]状态计算(核心:集合划分)

dp[i]表示了很多上升子序列的集合,我们用一个椭圆来表示所有以a[i]结尾的严格单调上升子序列。

目标:求取dp[i]的值(所有以a[i]结尾的严格单调上升子序列长度的Max值)

dp[i]不太好直接求,dp中有个很重要的思想是“分而治之”,我们将所有这样形式的单调上升子序列分为若干比较好算的类,最终dp[i]就是每一类的最大值取Max

集合划分依据:以最后一个不同的元素,即倒数第二个元素,可能的情况有i类(不妨设下标从1开始):a[1],a[2],...,a[i-1]不存在

  • (1)如果倒数第二个数不存在,那么其值就是1,序列之中只有a[i]一个元素。

  • (2)如果倒数第二个数是a[k](k=1,2,3,...,i-1),所有倒数第二个元素是a[k]的序列都可以分为两部分:

    • 第一部分:a[i](最后一个元素)
    • 第二部分:除了a[i]的剩余部分(最后一个元素是a[k]

微信图片_20220207113417.png

如果求其中的最大值,即Max(第二部分)+1(第一部分),我们从定义出发可以直接得出结果:dp[k] + 1

状态转移方程dp[i] = max(dp[i], dp[k] + 1)

(将dp[i]dp[k] + 1max是因为dp[i]一开始是1,即只有a[i]一个元素,dp[i]的更新是遍历a[i]前面的元素来实现的,所以当然是取两者较大值而不是直接赋值,在代码中可以得到体现)

椭圆如图所示:

微信图片_20220207113304.png

还有个要注意的点,我们划分的某一类可能会不存在,如果a[k]>=a[i]则意味着我们当前分的这一类所有序列都是不合法的,无需考虑,因此我们在划分集合的时候要特殊判断一下该类是否存在(a[k]<a[i]才存在)

分析完dp[i]的状态表示之后,所有的状态全部求完,那么答案就是:max(dp[1],dp[2],...,dp[n])

(最长上升子序列一定是以某个数结尾的,则考虑以所有数结尾的情况,再取max,这样取得的max一定是包含了所有的情况)

时间复杂度

O(n2):状态数(n) * 转移数(n)

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N], dp[N];
int n;

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; ++i) cin>>a[i];
    
    int res = 1;//最少的情况是只有一个元素,输出 1 即可
    
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        dp[i] = 1;//一开始只有a[i]一个元素
        for(int j=1; j<i; ++j)//遍历a[i]之前的元素
        {
            if(a[j]<a[i])
            {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);//根据方程,两者取max
                res = max(res, dp[i]);//在状态计算过程中顺便更新答案
            }
        }
    }
    
    cout<<res<<endl;
    
    return 0;
}
<think>好的,用户想学习或解决AcWing平台上动态规划相关的算法问题,我需要提供相应的题解和学习资源。首先,我得回忆一下AcWing动态规划题目有哪些典型题,以及用户可能需要的学习路径。 用户提到的引用中有几个题解,比如341题最优贸易的分层图解法,这可能属于动态规划的变种。还有购物单问题,可能涉及背包DP。另外,引用4提到的离散化优化空间,可能和状态压缩有关。引用5的排队打水,可能需要贪心,但动态规划有时候也会结合贪心策略。 首先,动态规划的基础知识很重要,比如状态定义、转移方程、初始化等。用户可能需要从简单题开始,比如01背包问题,这是动态规划的经典入门题。然后逐步过渡到更复杂的问题,如完全背包、多重背包,以及像最长公共子序列最长上升子序列这样的线性DP问题。 接下来,我需要整理AcWing上的相关题目。例如,AcWing 2. 01背包问题,这是最基础的。然后像AcWing 3. 完全背包问题,AcWing 4. 多重背包问题,这些都是背包问题的变种。还有线性DP中的AcWing 895. 最长上升子序列AcWing 896. 最长上升子序列 II(优化版),以及区间DP问题如AcWing 282. 石子合并。 用户提到的AcWing 341最优贸易题解,使用分层图方法,这可能涉及到状态机模型,属于动态规划的一种高级应用。状态机模型将问题分解成多个状态,每个状态之间的转移对应不同的操作,比如买入和卖出。这时候可能需要分层的状态设计,每一层代表不同的状态,比如未买入、已买入未卖出、已卖出。这种方法在动态规划中用于处理有多个阶段或操作的问题。 另外,购物单问题可能属于有依赖的背包问题,比如金明的预算方案,每个主件可以有多个附件,选择主件后才能选附件。这类问题需要处理依赖关系,通常使用分组背包或树形DP来解决。 对于学习资源,用户可能需要系统的课程或题解集合。AcWing算法基础课和提高课都包含动态规划章节,适合系统学习。此外,题解区有很多高质量的解答,用户可以参考。比如,y总的讲解视频,或者其他用户的代码实现。 用户可能的疑问点包括如何定义状态,如何写出转移方程,以及如何进行空间优化。例如,在背包问题中,一维数组优化是通过逆序更新来避免重复计算。而在状态机模型中,需要明确每个状态转移的条件和计算方式。 另外,动态规划的优化技巧如单调队列、斜率优化、离散化等,可能在高级题目中出现。例如,引用4提到的离散化优化,用于减少空间复杂度,这在处理大范围数据时非常有用,比如当状态中的某些维度范围很大但实际使用较少时,可以通过离散化映射到更小的空间。 在推荐学习路径时,建议用户先掌握基本模型,再逐步挑战复杂问题。比如从背包问题开始,然后线性DP,区间DP,状态压缩DP,最后是状态机模型、树形DP等。同时,多练习相关题目,理解不同问题的状态设计和转移方式。 最后,用户可能需要具体的题解示例,比如针对某个题目的代码和思路分析。例如,对于AcWing 2. 01背包问题,可以给出二维和一维的解法,并解释状态转移的过程。对于状态机模型的问题,如AcWing 1052. 设计密码,需要详细说明状态的定义和转移条件。 总结来说,我需要提供动态规划的学习路径、典型例题、解题思路以及AcWing上的相关资源,帮助用户系统地学习和解决动态规划问题。</think>### AcWing动态规划问题学习指南 #### 一、动态规划基础知识 动态规划DP)核心在于**状态定义**和**状态转移方程**。基本步骤包括: 1. 定义状态:$dp[i][j]$ 表示某种条件下的最优解 2. 初始化边界条件 3. 建立状态转移关系:$dp[i][j] = f(dp[i-1][k], ...)$ 4. 确定最终解的位置 #### 二、经典题型分类 ##### 1. 背包问题 - **01背包**:每个物品选一次 例题:AcWing 2. 01背包问题 状态转移:$dp[j] = \max(dp[j], dp[j - v_i] + w_i)$(一维数组逆序更新)[^1] - **完全背包**:物品无限次选取 例题:AcWing 3. 完全背包问题 状态转移:$dp[j] = \max(dp[j], dp[j - v_i] + w_i)$(一维数组正序更新) - **多重背包**:物品有数量限制 例题:AcWing 4. 多重背包问题 优化方法:二进制拆分、单调队列优化 ##### 2. 线性DP - **最长上升子序列(LIS)** 例题:AcWing 895. 最长上升子序列 状态定义:$dp[i]$ 表示以第$i$个元素结尾的LIS长度 优化后时间复杂度:$O(n \log n)$[^4] - **编辑距离** 例题:AcWing 899. 编辑距离 状态转移: $$dp[i][j] = \min\left\{\begin{array}{l} dp[i-1][j] + 1, \\ dp[i][j-1] + 1, \\ dp[i-1][j-1] + (a_i \neq b_j) \end{array}\right.$$ ##### 3. 区间DP - **石子合并** 例题:AcWing 282. 石子合并 状态定义:$dp[l][r]$ 表示合并区间$[l,r]$的最小代价 转移方程: $$dp[l][r] = \min_{k=l}^{r-1}(dp[l][k] + dp[k+1][r]) + \sum_{i=l}^r a_i$$ ##### 4. 状态机模型 - **最优贸易问题** 例题:AcWing 341. 最优贸易[^2] 解法:建立三层状态表示不同交易阶段 - 第一层:未买入 - 第二层:已买入未卖出 - 第三层:已卖出 #### 三、学习资源推荐 1. **AcWing官方课程** - 算法基础课:涵盖DP基础模型 - 算法提高课:包含树形DP、状态压缩等高级内容 2. **题解资源** - AcWing题解区:搜索题目编号查看高质量题解 - 经典教材参考:《算法竞赛进阶指南》动态规划章节 3. **代码模板** ```python # 01背包一维优化模板(Python示例) n, m = map(int, input().split()) dp = [0] * (m+1) for _ in range(n): v, w = map(int, input().split()) for j in range(m, v-1, -1): dp[j] = max(dp[j], dp[j - v] + w) print(dp[m]) ``` #### 四、常见优化技巧 1. **滚动数组**:将二维状态压缩为一维 2. **离散化**:处理大范围稀疏数据(如坐标范围大但实际使用点少)[^4] 3. **单调队列优化**:适用于决策单调性问题 4. **斜率优化**:将转移方程转化为凸包问题 #### 五、练习建议 1. 从简单模板题开始(如AcWing 2, 3, 895) 2. 逐步过渡到应用题(如AcWing 341, 282) 3. 每道题尝试写出: - 状态定义 - 转移方程 - 边界条件 - 空间优化方案
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