AcWing 895. 最长上升子序列

问题描述

给定一个长度为$N$的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式：

第一行包含整数$N$。

第二行包含$N$个整数，表示完整序列。

输出格式：

输出一个整数，表示最大长度。

数据范围

$1\le N\le 1000，$
$-109\le 数列中的数\le 109$

输入样例：

7
3 1 2 1 8 5 6

输出样例：

4

思路

1、可以使用dp的方式进行求解。
2、分为状态表示和状态计算，状态表示所表示的集合是所有以第i个数结尾的上升子序列。
3、极端情况：f[i] = 1恒成立 因为在当只有一个以第i个数结尾的时候就是1；
4、当满足f[j] < f[i] 的时候 即 满足上升的性质 后面一个数比前面一个数字大，则可以使用状态转移方程式 f[i] = max(f[i], f[j] + 1) 理解为所有以j结尾的所有的上升子序列长度的最大值为 fj + 1 即可得到最大值

原题链接

C++代码1：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 10101;

int n;
int a[N],f[N];

int main()
{
    cin >> n;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        f[i] = 1; //只有a[i]一个数字的情况
        for(int j = 1; j < i; j++) //长度最小是2  枚举上一个数 
            if(a[j] < a[i])
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
    }
    
    int res = 0;
    
    for(int i = 0; i <= n; i ++ )
        res = max(res,f[i]);
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}

C++代码2：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 10101;

int n;
int a[N],f[N], g[N]; //g[N] 来保存 数字

int main()
{
    cin >> n;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        f[i] = 1; //只有a[i]一个数字的情况
        g[i] = 0; //只有一个数
        for(int j = 1; j < i; j++)
            if(a[j] < a[i])
                //f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
                if(f[i] < f[j] + 1)
                {
                    //存储转移的过程
                    f[i] = f[j] + 1;
                    g[i] = j;//从哪一个状态转移过来的
                }
    }
    
    //int res = 0;
    int k = 1; //最优点下标
    for(int i = 0; i <= n; i++)  
        if(f[k] < f[i])
            k = i;

    printf("%d\n",f[k]); 
    
    for(int i = 0, len = f[k]; i < len; i++)
    {
        printf("%d ",a[k]);
        k = g[k];
    }

    return 0;
}

两个字符串的最长公共子串与最长公共子序列的区别：
最长公共子串要求在原字符串中是连续的，而子序列只需要保持相对顺序一致，并不要求连续。