序列求和V2

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题目：计算$$\sum _{i=1}^n{r}^i\ast i^k$$其中$n\le 10^9,k\le 10^3$
一个非常巧妙的转化，设
$$S(x)=\sum _{i=1}^n{r}^i\ast i^x$$
我们要求的就是$S(k)$
考虑将式子变形
$$S(k)=\sum _{i=1}^n{r}^i\ast i^k$$
$$rS(k)=\sum _{i=2}^{n+1}{r}^i\ast (i-1{)}^k$$
$$(r-1)S(k)=n^k\ast r^{n+1}-r+\sum _{i=2}^n{r}^i\ast ((i-1{)}^k-i^k)$$
后面部分用二项式展开$$\sum _{i=2}^n{r}^i\ast ((i-1{)}^k-i^k)$$
$$=\sum _{i=2}^n{r}^i\ast \sum _{j=0}^{k-1}{C}_k^j\ast (-1{)}^{k-j}\ast i^j$$
$$=\sum _{j=0}^{k-1}{C}_k^j\ast (-1{)}^{k-j}\sum _{i=2}^n{r}^i\ast i^j$$
$$=\sum _{j=0}^{k-1}{C}_k^j\ast (-1{)}^{k-j}\ast (S(j)-r)$$
于是可以$O(n^2)$递推