多项式相关模板#2

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最近出了几个这样的题于是就把模板库完善了一下
依然是全程NTT实现，模数为998244353，依然没有多点插值和多点求值
不过这次画风大变，因为结构体化的多项式模板其实无论用什么实现方式（数组，指针，vector）都不能同时兼顾效率和灵活性两方面，所以整个代码都是用数组实现
稍微写一下一些需要注意的点：

多项式求逆

大概是基于一个思想:倍增
首先当$deg(A)=1$时我们有$B=A^{-1}=A^{M-2}$ 注意常数项不能为0
下面考虑$deg(A)>1$
假设我们知道了$A(x)\ast B^{\prime }(x)=1(mod{x}^n)$
现在我们要求的是$A(x)\ast B(x)=1(mod{x}^{2n})$
首先必然有的就是$A(x)\ast (B^{\prime }(x)-B(x))=0(mod{x}^n)$
那么就有$B^{\prime }(x)-B(x)=0(mod{x}^n)$
两边平方就是$$B^2-2B{B}^{\prime }+B^{\prime 2}=0(mod{x}^{2n})$$上面这一步非常关键
接下来用前面的结论$A{B}^{\prime }=1$就得到
$$B-2B^{\prime }+A{B}^{\prime 2}=0(mod{x}^{2n})$$
那么我们就求得了$B(x)=2B^{\prime }-A{B}^{\prime 2}$
写的时候直接把次数取到2的幂次会比较方便


多项式求Ln

一个非常好的问题
首先定义？就是 Ln(A)的泰勒展开而已
这个时候就会发现一些问题
如果A的常数项不为1那么我们发现$ln(A)$是不能在模意义下表示的
所以我们这里只讨论常数项为1的情况（不为1请用FFT而不是NTT）
注意到以下的式子$$d(ln(A))=\frac{dA}{A}$$
这给我们求ln提供了方法，先对A求导，乘上A的逆元让后积分就可以了
积分常数C一般取0
这个还是比较好理解的


多项式Exp

这个就不那么好解释了
先给一个牛顿迭代的式子
如果有式子$F$满足$G(F(x))=0(mod{x}^n)$
那么我们就得到$$H(x)=F(x)-G(F(x))/G^{\prime }(F(x))$$这个H满足$G(H(x))=0(mod{x}^{2n})$
我们现在要求的是$ln(F(x))-A(x)=0(mod{x}^n)$
设$G(F(x))=ln(F(x))-A(x)$带入上面那个式子就得到
$$H(x)=F(x)\cdot (1-ln(F(x))+A(x)$$
这样，套用上面求逆的倍增法就可以了
同样注意，只有当常数项为0的时候这个算法才能使用否则请用FFT


多项式开方

依然是沿用上面的倍增方法
我们考虑已经得到$B^{\prime 2}=A(mod{x}^n)$
那么就得到$(B+B^{\prime })\ast (B-B^{\prime })=0(mod{x}^n)$
取一个解就得到$B-B^{\prime }=0(mod{x}^n)$
平方一下就得到$B^2-2B{B}^{\prime }+B^{\prime 2}=0(mod{x}^{2n})$
又因为我们已知$B^2=A$
所以就有$$B(x)=\frac{A(x)+B^{\prime 2}(x)}{2B^{\prime }(x)}$$
套用上面的多项式求逆就可以了

除法这里暂时不写（代码里面有）

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define N 400010
#define M 998244353
#define LL long long
using namespace std;
int W[N],iW[N],inv[N];
int rA[N],rB[N],C[N],b[N],iA[N],iB[N],dA[N];
inline LL pow(LL x,LL k,LL s=1){
	for(;k;x=x*x%M,k>>=1) k&1?s=s*x%M:0;
	return s;
}
inline void init(){
	inv[1]=1;
	for(int j=2;j<N;++j)
		inv[j]=(LL)(M-M/j)*inv[M%j]%M;
	for(int j=1;j<=N;j<<=1){
		W[j]=pow(3,(M-1)/j);
		iW[j]=pow(W[j],M-2);
	}
}
inline void NTT(int* A,int n,int g){
	static int b[N]; memcpy(b,A,n<<2);
	for(int i=0,j=0;i<n;i++){
        if(i>j) swap(b[i],b[j]);
        for(int l=n>>1;(j^=l)<l;l>>=1);
    }
	for(int k=1;k<n;k<<=1){
		register LL w=g?W[k<<1]:iW[k<<1],u,v,z=1;
		for(int j=k;j<n;++j&k?z=z*w%M:z=1,j|=k){
			u=b[j^k]; v=z*b[j]%M;
			b[j^k]=(u+v)%M; b[j]=(u-v+M)%M;
		}
	}
	if(!g){
		g=inv[n];
		for(int i=0;i<n;++i) A[i]=(LL)b[i]*g%M;
	} else memcpy(A,b,n<<2);
}
inline void gInv(int* A,int* B,int n){
	if(n==1){ *B=pow(*A,M-2); return; }
	gInv(A,B,n>>1);
	for(int i=0;i<n;++i) C[i]=A[i],C[i+n]=0;
	NTT(C,n<<1,1);
	NTT(B,n<<1,1);
	for(int i=0;i<(n<<1);++i) C[i]=B[i]*(M+2-(LL)C[i]*B[i]%M)%M;
	NTT(C,n<<1,0);
	for(int i=0;i<n;++i) B[i]=C[i],B[i+n]=0;
}
inline void Sqrt(int* A,int* B,int n){
	if(n==1){ *B=*A; return; }
	Sqrt(A,B,n>>1);
	for(int i=0;i<n;++i) C[i]=A[i],iB[i]=iB[i+n]=C[i+n]=0;
	gInv(B,iB,n);
	NTT(C,n<<1,1);
	NTT(iB,n<<1,1);
	for(int i=0;i<(n<<1);++i) C[i]=(LL)C[i]*inv[2]%M*iB[i]%M;
	NTT(C,n<<1,0);
	for(int i=0;i<n;++i) B[i]=((LL)B[i]*inv[2]%M+C[i])%M;
}
inline void Div(int* A,int* B,int n,int m,int* D,int* R){
	for(int i=0;i<m;++i) rB[i]=B[m-i-1];
	for(int i=0;i<n;++i) rA[i]=A[n-i-1];
	int dG=n-m+1,L=1; for(;L<(dG<<1);L<<=1);
	for(int i=dG;i<L;++i) rA[i]=rB[i]=0;
	for(int i=0;i<L;++i) iB[i]=0;
	gInv(rB,iB,L);
	for(int i=dG;i<L;++i) iB[i]=0;
	NTT(iB,L,1);
	NTT(rA,L,1);
	for(int i=0;i<L;++i) rA[i]=(LL)rA[i]*iB[i]%M;
	NTT(rA,L,0);
	for(int i=0;i<dG;++i) D[i]=rA[dG-i-1];
	for(int i=0;i<dG;++i) rA[i]=D[i];
	for(int i=0;i<m;++i) rB[i]=B[i];
	for(;L<(m+dG);L<<=1);
	for(int i=dG;i<L;++i) rA[i]=0;
	for(int i=m;i<L;++i) rB[i]=0;
	NTT(rA,L,1);
	NTT(rB,L,1);
	for(int i=0;i<L;++i) rA[i]=(LL)rA[i]*rB[i]%M;
	NTT(rA,L,0);
	for(int i=0;i<L;++i) R[i]=(A[i]-rA[i]+M)%M;
}
inline void Ln(int* A,int* B,int n){
	for(int i=0;i<(n<<1);++i) iA[i]=dA[i]=0;
	gInv(A,iA,n);
	for(int i=1;i<n;++i) dA[i-1]=(LL)A[i]*i%M;
	NTT(dA,n<<1,1);
	NTT(iA,n<<1,1);
	for(int i=0;i<(n<<1);++i) dA[i]=(LL)iA[i]*dA[i]%M;
	NTT(dA,n<<1,0);
	*B=B[n]=0;
	for(int i=1;i<n;++i) B[i]=(LL)dA[i-1]*inv[i]%M,B[i+n]=0;
}
inline void Exp(int* A,int* B,int n){
	if(n==1){ *B=1; return; }
	Exp(A,B,n>>1);
	for(int i=0;i<(n<<1);++i) b[i]=0;
	Ln(B,b,n);
	for(int i=0;i<n;++i) b[i]=((LL)A[i]-b[i]+M)%M;
	*b=(*b+1)%M;
	NTT(B,n<<1,1);
	NTT(b,n<<1,1);
	for(int i=0;i<(n<<1);++i) B[i]=(LL)B[i]*b[i]%M;
	NTT(B,n<<1,0);
}
int F[N],G[N],n,H[N],m,k;	
int main(){
//	freopen("1.in","r",stdin);
	init(); scanf("%d%d",&n,&k); ++n;
	for(int i=0;i<n;++i) scanf("%d",F+i);
	for(m=1;m<n;m<<=1);
	Ln(F,G,m);
	for(int i=0;i<n;++i) G[i]=(LL)G[i]*k%M;
	memset(F,0,sizeof F);
	Exp(G,F,m);
	for(int i=0;i<n;++i) printf("%d ",F[i]);
}