FWT模板

关注

原创最新推荐文章于 2026-08-16 11:26:52 发布 574 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

用nTopology五分钟生成三维Voronoi泡沫：节点式建模从原理到实操多孔结构在增材制造与轻量化设计中应用广泛，其中Voronoi泡沫因其优异的缓冲吸能和比刚度表现备受关注。传统CAD建模需处理复杂布尔运算和网格修复，而隐式建模通过数学场描述几何体，将空间距离与密度分布转化为可视化节点，大幅降低操作门槛。nTopology基于场驱动与参数化逻辑，无需编写命令，即可实时调节胞元尺寸、壁厚及随机种子，快速生成可打印的泡沫实体。这种工作流适用于缓冲垫、医疗植入体、航空支架等场景，也为梯度密度结构与力学仿真验证提供了高效路径。本文围绕三维Voronoi泡沫的生成原理与节点操作流程，详阅读详情

.
稍微学了一下FWT发现挺好写
这个东西和FFT其实区别比较大，所以比较适合理性理解
比如对于or运算的FWT，我们考虑这样一个式子
$FWTor(A)[i]=∑j∣i=iA[j]FWT_{or}(A)[i]=\sum_{j|i=i}A[j]$ 以及我们要求的东西
$(A∣B)[k]=∑i∣j=kA[i]∗B[j](A|B)[k]=\sum_{i|j=k}A[i]*B[j]$ 我们设 $C = (A ∣ B)$ 就可以发现一个事情
$FWT_{or}(C)[k]=FWT_{or}(A)[k]*FWT_{or}(B)[k]$ 这个证明略去，稍微手玩一下四项的式子就发现这样是对的
让后就是求这个 $FWT_{or}$ 了
我们发现可以用一个dp来做，可以看看下面这个代码

inline void fwt(int* s){
	for(int i=1;i<=N;i<<=1)
		for(int j=i;j<N;++j&i?0:j|=i)
			s[j]+=s[j^i];
}

.
主要思路就是一层一层来做子集和
每次就把这一层分成 $N / 2 i$ 个块让后把每个块后半部分加上前半部分

如果是 $FWT_{and}$ 那么就是这样的

inline void ffwtA(int* s,int opt){
	for(int i=1;i<=N;i<<=1)
		for(int j=i;j<N;++j&i?0:j|=i)
			s[j^i]+=s[j];
}

.
只不过是把后面的加到前面而已，这两个还是比较好理解的
让后就是 $FWT_{xor}$ 了，需要用一点容斥的做法
这里 $FWT_{xor}$ 的意义不太一样，是这样的
$j)FWT_{xor}(A)[i]=\sum_{i=1}^{|A|}A[j]*(-1)^{Bitcount(i\ xor\ j)}$ 这里 $B i t c o u n t (x)$ 表示x有在二进制表示下的1的个数
不过大多时候不需要考虑这么多因为代码很好记

inline void ffwtX(int* s,int opt){
	int x,y;
	for(int i=1;i<=N;i<<=1)
		for(int j=i;j<N;++j&i?0:j|=i){
			x=s[j^i],y=s[j];
			s[j^i]=x+y; s[j]=x-y;
	}
}