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#快速沃尔什变换 #线性代数 #多项式 #位运算 #扩展的灰

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稍微学了一下FWT发现挺好写
这个东西和FFT其实区别比较大，所以比较适合理性理解
比如对于or运算的FWT，我们考虑这样一个式子
$FWTor(A)[i]=∑j∣i=iA[j]FWT_{or}(A)[i]=\sum_{j|i=i}A[j]$ 以及我们要求的东西
$(A∣B)[k]=∑i∣j=kA[i]∗B[j](A|B)[k]=\sum_{i|j=k}A[i]*B[j]$ 我们设 $C = (A ∣ B)$ 就可以发现一个事情
$FWT_{or}(C)[k]=FWT_{or}(A)[k]*FWT_{or}(B)[k]$ 这个证明略去，稍微手玩一下四项的式子就发现这样是对的
让后就是求这个 $FWT_{or}$ 了
我们发现可以用一个dp来做，可以看看下面这个代码

inline void fwt(int* s){
	for(int i=1;i<=N;i<<=1)
		for(int j=i;j<N;++j&i?0:j|=i)
			s[j]+=s[j^i];
}

.
主要思路就是一层一层来做子集和
每次就把这一层分成 $N / 2 i$ 个块让后把每个块后半部分加上前半部分

如果是 $FWT_{and}$ 那么就是这样的

inline void ffwtA(int* s,int opt){
	for(int i=1;i<=N;i<<=1)
		for(int j=i;j<N;++j&i?0:j|=i)
			s[j^i]+=s[j];
}

.
只不过是把后面的加到前面而已，这两个还是比较好理解的
让后就是 $FWT_{xor}$ 了，需要用一点容斥的做法
这里 $FWT_{xor}$ 的意义不太一样，是这样的
$j)FWT_{xor}(A)[i]=\sum_{i=1}^{|A|}A[j]*(-1)^{Bitcount(i\ xor\ j)}$ 这里 $B i t c o u n t (x)$ 表示x有在二进制表示下的1的个数
不过大多时候不需要考虑这么多因为代码很好记

inline void ffwtX(int* s,int opt){
	int x,y;
	for(int i=1;i<=N;i<<=1)
		for(int j=i;j<N;++j&i?0:j|=i){
			x=s[j^i],y=s[j];
			s[j^i]=x+y; s[j]=x-y;
	}
}