Jzoj3093 合唱队形

最新推荐文章于 2022-10-30 18:00:00 发布

原创最新推荐文章于 2022-10-30 18:00:00 发布 · 446 阅读

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#数论 #扩展gcd #同余方程 #中国剩余定理

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本文介绍如何使用扩展GCD方法解决中国剩余定理问题，并提供了一个C++实现示例，通过合并多个同余方程求解最小的人数。

他首先尝试排成m1行，发现最后多出来a1个同学；接着他尝试排成m2行，发现最后多出来a2个同学，……，他们尝试了n种排队方案，但每次都不能让同学们正好排成mi行。于是小刘寻求同事小明的帮助，以便给同学们排好队型。但小刘来去太匆忙，忘记告诉小明他们班有多少人了。没办法，现在只能根据上述信息求个满足要求的最小的数字来作为人数了。

这个题就是中国剩余定理了，这里介绍一种用扩展gcd的方法（本质上二者没有区别）

我们来考虑两个同余方程 X=A(MOD M1) 和 X=B(MOD M2)

我们可以将其变形成为求一个方程 M1x+M2y=(B-A)是否有解，这里用扩展gcd即可

如果没有显然直接退出，如果有，那么令A'=x*M1+A,M'=M1*M2/gcd(M1,M2)

那么我们就将这两个方程X=A(MOD M1) 和 X=B(MOD M2)合并成了一个方程 X=A'(MOD M')

为什么这样是对的呢？

M1x+M2y=(B-A)可以等价于M1x=(B-A)(MOD M2)，那么自然，M1x+A=B(MOD M2)

而M'又是M2的倍数，所以显然X=A'(MOD M')包含了X=B(MOD M2)

而因为A'=x*M1+A=A(MOD M1)，所以成立

我们将所有的方程合并成一个，最后的A显然就是答案

#include<stdio.h>
#define L long long
L gcd(L a,L b){
	for(L c;b;a=b,b=c) c=a%b;
	return a;
}
L extgcd(L a,L b,L& x,L& y){
	if(b){
		L r=extgcd(b,a%b,y,x);
		y-=x*(a/b); return r;
	} else { x=1;y=0; return a; }
}
int main(){
	int n; scanf("%d",&n);
	L a,m,M,A,x,y,z,r;
	scanf("%lld%lld",&m,&a);
	for(int i=1;i<n;++i){
		scanf("%lld%lld",&M,&A);
		r=extgcd(m,M,x,y);
		if((A-a)%r) return 0&puts("-1");
		x*=(A-a)/r;
		x=(x%M+M)%M; a=x*m+a; 
		m=m/r*M; a=a%m; 
	}
	printf("%lld\n",a);
}