凸优化笔记3

直线

$x_1̸=x_2\in R^n,\theta \in R$
$y=\theta x_1+(1-\theta )x_2=x_2+\theta (x_1-x_2)$

线段

$x_1̸=x_2\in R^n,\theta \in [0,1]$
$y=\theta x_1+(1-\theta )x_2=x_2+\theta (x_1-x_2)$

仿射集（affine sets）

定义：一个集合C是仿射集，若$ \forall x_1,x_2 \in C $，则连接$x_1,x_2$的直线也在集合内。
$\forall x_1,x_2\in C,\theta \in R$
$y=\theta x_1+(1-\theta )x_2\in C$

仿射组合

设$x_1,...x_k\in C,{\theta }_1,...,{\theta }_k\in R,{\theta }_1+...+{\theta }_k=1$
${\theta }_1{x}_1+...+{\theta }_k{x}_k$

如果一个集合C是仿射集，则它的任意仿射组合都属于C。

跟C相关的子空间

V={x−x0∣x∈C},∀x0V = \left \{ x - x_0 | x \in C\right \},\forall x_0V={x−x0​∣x∈C},∀x0​

$\forall x_1,x_2\in V,\alpha ,\beta \in R\Rightarrow \alpha x_1+\beta x_2\in V$

(仿射集要求$\alpha +\beta =1$,跟C相关的子空间V：$\alpha \in R,\beta \in R$)

仿射包

aff C={θ1x1+...θkxk∣∀x1,...,xk∈C,∀θ1+...+θk=1}C = \left \{ \theta _1 x_1 + ... \theta _kx_k | \forall x_1,...,x_k \in C, \forall \theta _1+...+ \theta _k = 1 \right \}C={θ1​x1​+...θk​xk​∣∀x1​,...,xk​∈C,∀θ1​+...+θk​=1}

(即对任意集合C，构造尽可能小的仿射集)

例:

线性方程组的解集是仿射集