凸优化笔记4

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#凸锥 #凸锥包 #凸集 #凸组合 #凸包

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凸集（convex set）

定义

一个集合C是凸集，当任意两点之间的线段仍在C内

数学方式表达

C为凸集:
$∀x1,x2∈C\forall x_1,x_2 \in C$
$∀θ∈[0,1]\forall \theta \in [0,1]$
$θx−1+(1−θ)x2∈C\theta x-1 + (1- \theta )x_2 \in C$

扩展

C连接两点的直线仍在C内 $⇒\Rightarrow$ 线段也一定在C内 $⇒\Rightarrow$ 仿射集一定是凸集

凸组合

定义

$θ1,...,θk∈R,θ1+...+θk=1,θ1,...,θk∈[0,1]\theta _1,...,\theta _k \in R, \theta _1 + ...+\theta _k = 1,\theta _1,...,\theta _k \in [0,1]$

$x_1,...,x_k$ 的凸组合： $θ1x1+...+θkxk\theta _1x_1 + ...+\theta _kx_k$

扩展

$C$ 为凸集 $⇔\Leftrightarrow$ 任意元素凸组合 $∈C\in C$

凸包

$\in R^n$
$\ C = \left \{ \left.\begin{matrix} \theta _1 x_1 +...+\theta _kx_k\\ \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} \forall x_1,...x_k \in C\\ \forall \theta _1,...,\theta _k \in [0,1]\\ \theta _1+...+\theta _k = 1 \end{matrix} \right \}$

（任意集合C，构造尽可能小的凸集）

锥 Cone

锥

C是锥 $∀x∈C,θ≥0,有θx∈C\forall x \in C , \theta \geq 0,有\theta x \in C$

凸锥

C是凸锥 $∀x1,x2∈C,θ1,θ2≥0,有θ1x1+θ2x2∈C⇔锥+凸集\forall x_1,x_2 \in C , \theta _1,\theta _2 \geq 0,有\theta _1 x_1 + \theta _2 x_2 \in C \Leftrightarrow 锥+凸集$

凸锥组合

定义

$θ1,...,θk≥0\theta _1x_1 + ...+\theta _kx_k,\ \ \ \theta _1,...,\theta _k \geq 0$

凸锥包

$x1,...,xk∈Cx_1,...,x_k \in C$
$\ C = \left \{ \left.\begin{matrix} \theta _1 x_1 +...+\theta _kx_k\\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} x_1,...x_k \in C\\ \theta _1,...,\theta _k \geq 0 \end{matrix} \right \}$