线性代数学习笔记8-3：二次型、合同矩阵、标准型、规范型

二次型

二次型是一种特殊的多项式，其中可以有n个变量，但是每项的次数必须为二（某两个变量的乘积），例如$x^2+xy+xz+z^2$

• 之前说过，一元n次多项式（函数）可以视为一个向量，基函数就是$1,x,x^2...$
• 类似的思路，n元2次多项式（二次型）的问题可以视为矩阵的问题，只不过这里的基函数是n个变量$x_1,x_2,...,x_n$

二次型可以表示为$f(\mathbf{A})=(x_1,x_2,...,x_n)\mathbf{A}(x_1,x_2,...,x_n{)}^T$
实对称矩阵$\mathbf{A}$称为二次型的矩阵，$Rank(\mathbf{A})$称为二次型的秩

这样一来，我们就能利用线性代数解决n元2次多项式问题了，但是这里不能随意应用矩阵的各种变换，针对二次型的研究，还需要矩阵的合同变换

二次型的几何意义

二次型的提出，是为了研究：几何图形在三维坐标系下二次曲线/二次曲面方程

这里直接给出结论：研究几何图形，只要研究这个二次函数的二次项就可以了

• 二次型的一次项和常数项并不能影响图形本身的特性，只要二次项相同，矩阵就是合同的（它们的几何图形是在不同坐标系下看到的同一个图形，或者说他们的图形经过缩放、选择、平移后能够重合）
  （这就好像在分析高频信号时，抓住关键特性，只要分析其复包络/等效低通信号就可以了）

这里的合同，偏向于说几何图形的“根本特性”相同，例如圆和椭圆就是合同的，其二次型相同中的二次项相同，但是相较于不包含交叉项的函数图形，包含变量交叉项的函数的图形发生了旋转和伸缩变化，但我们仍可将其视为“取不同坐标系”时看到的同一个图形

• 由此可知，二次型的二次项完全表现了图形的特性，这种“特性”相同的一类二次型，其矩阵就是合同矩阵（几何意义：线性空间里的同一个几何图形，在不同的坐标基下的不同矩阵表示）

合同矩阵

称$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$为合同矩阵的条件：它们满足$\mathbf{B}={\mathbf{P}}^T\mathbf{AP}$，且其中$\mathbf{P}$为可逆矩阵（理解为：由自然基到非自然基的过渡矩阵，从而用于转换观察的坐标系）

• 对比：对称矩阵的相似对角化为$\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{Q}}^T$，其中$\mathbf{Q}$为正交矩阵
  两种定义有相似之处，相似对角化与合同有某种联系（相似对角化是合同的特殊情况？待进一步学习）
• 和相似矩阵类似，合同矩阵就是同一个二次型在不同坐标基下的矩阵
• 合同矩阵的几何意义：同一个二次函数的几何图形，在不同坐标系下的矩阵表示
• 二次型的矩阵（对称矩阵）必合同于对角矩阵
  原因：对称阵一定可以正交对角化

标准型、规范型

前面说过，几何图形的特性完全由二次项决定，然而我们又不希望出现交叉项这样的二次项，希望得到一种“最简”的形式，这就是标准型和规范型

标准型：形如$a_1{x_1}^2+a_2{x_2}^2+...+a_n{x_n}^2$的二次型
规范型：形如${x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_n}^2$的二次型

对于同一个二次型$f(\mathbf{A})=(x_1,x_2,...,x_n)\mathbf{A}(x_1,x_2,...,x_n{)}^T$，我们变换观察的视角（在不同坐标系下看同一个几何图形），由于二次型的矩阵$\mathbf{A}$（实对称矩阵）必可正交对角化，因此任何二次型可以通过[合同变换]化为标准型

• 通过配方法/施密特正交变换，可以化二次型为标准型
• 二次型化为标准型，几何上就是不停进行坐标变换，最终找到一组正交基，使得在这个基下的二次型矩阵为对角矩阵