本文介绍了距离空间中稠密性的四个等价定理，并通过详细证明展示了这些定理之间的相互转换。以有理数在实数集上的稠密性为例，阐述了如何运用这些定理进行推理。内容涵盖集合的闭包、点的逼近以及收敛点列等概念。
设 A,BA,BA,B 均为距离空间 XXX 的子集，如果 B‾⊃A\overline{B}\supset AB⊃A，则称 BBB 在 AAA 中稠密。
稠密性有以下几个等价定理：
- B‾⊃A\overline{B}\supset AB⊃A
- 对于任给的 x∈Ax\in Ax∈A 以及任给的 ε>0\varepsilon>0ε>0，存在 BBB 中的点 yyy 使 ρ(x,y)<ε\rho(x,y)<\varepsilonρ(x,y)<ε
- 对于任给的 ε>0\varepsilon>0ε>0，以 BBB 中的每个点为中心，以 ε\varepsilonε 为半径的全部开球的并包含 AAA
- 对于任给的 x∈Ax\in Ax∈A，存在 BBB 中的点列 {xn}\{ x_n\}{xn} 收敛于 xxx
例如：有理数集在实数集上稠密。
由 1 推 2：
∀x∈A\forall x\in A∀x∈A 因为 x∈A⊂B‾x\in A\subset \overline{B}x∈A⊂B，所以 ∀ε>0,∃y∈B,s.t.ρ(x,y)<ε\forall\varepsilon>0,\exist y\in B,{\rm s.t.}\rho(x,y)<\varepsilon∀ε>0,∃y∈B,s.t.ρ(x,y)<ε （闭包的定义）
由 2 推 3：
显然
由 3 推 4：
∀x∈A\forall x\in A∀x∈A
考虑 ε=1\varepsilon=1ε=1，因为 xxx 属于半径为 111 的开球集的并，所以至少有一个开球包含 xxx，这个开球的圆心记作 x1x_1x1，且有 x1∈Bx_1\in Bx1∈B，ρ(x1,x)<1\rho(x_1,x)<1ρ(x1,x)<1
考虑 ε=1/2\varepsilon=1/2ε=1/2，因为 xxx 属于半径为 1/21/21/2 的开球集的并，所以至少有一个开球包含 xxx，这个开球的圆心记作 x2x_2x2，且有 x2∈Bx_2\in Bx2∈B,ρ(x2,x)<1/2\rho(x_2,x)<1/2ρ(x2,x)<1/2
…
考虑 ε=1/n\varepsilon=1/nε=1/n，因为 xxx 属于半径为 1/n1/n1/n 的开球集的并，所以至少有一个开球包含 xxx，这个开球的圆心记作 xnx_nxn，且有 xn∈Bx_n\in Bxn∈B,ρ(xn,x)<1/n\rho(x_n,x)<1/nρ(xn,x)<1/n
…
由此，我们可以得到一个数列 {xn},ρ(xn,x)=1/n\{x_n\},\rho(x_n,x)=1/n{xn},ρ(xn,x)=1/n,所以 xn→xx_n\to xxn→x，且 xn∈Bx_n\in Bxn∈B
由 4 推 1：
闭包的性质
2022年4月11日20:51:39
2022年5月19日 添加了证明
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