稠密性的等价定义与证明 | 稠密性的充要条件

本文介绍了距离空间中稠密性的四个等价定理,并通过详细证明展示了这些定理之间的相互转换。以有理数在实数集上的稠密性为例,阐述了如何运用这些定理进行推理。内容涵盖集合的闭包、点的逼近以及收敛点列等概念。

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A,BA,BA,B 均为距离空间 XXX 的子集,如果 B‾⊃A\overline{B}\supset ABA,则称 BBBAAA 中稠密。

稠密性有以下几个等价定理:

  1. B‾⊃A\overline{B}\supset ABA
  2. 对于任给的 x∈Ax\in AxA 以及任给的 ε>0\varepsilon>0ε>0,存在 BBB 中的点 yyy 使 ρ(x,y)<ε\rho(x,y)<\varepsilonρ(x,y)<ε
  3. 对于任给的 ε>0\varepsilon>0ε>0,以 BBB 中的每个点为中心,以 ε\varepsilonε 为半径的全部开球的并包含 AAA
  4. 对于任给的 x∈Ax\in AxA,存在 BBB 中的点列 {xn}\{ x_n\}{xn} 收敛于 xxx

例如:有理数集在实数集上稠密。


由 1 推 2:
∀x∈A\forall x\in AxA 因为 x∈A⊂B‾x\in A\subset \overline{B}xAB,所以 ∀ε>0,∃y∈B,s.t.ρ(x,y)<ε\forall\varepsilon>0,\exist y\in B,{\rm s.t.}\rho(x,y)<\varepsilonε>0,yB,s.t.ρ(x,y)<ε (闭包的定义)

由 2 推 3:
显然

由 3 推 4:

∀x∈A\forall x\in AxA

考虑 ε=1\varepsilon=1ε=1,因为 xxx 属于半径为 111 的开球集的并,所以至少有一个开球包含 xxx,这个开球的圆心记作 x1x_1x1,且有 x1∈Bx_1\in Bx1Bρ(x1,x)<1\rho(x_1,x)<1ρ(x1,x)<1

考虑 ε=1/2\varepsilon=1/2ε=1/2,因为 xxx 属于半径为 1/21/21/2 的开球集的并,所以至少有一个开球包含 xxx,这个开球的圆心记作 x2x_2x2,且有 x2∈Bx_2\in Bx2B,ρ(x2,x)<1/2\rho(x_2,x)<1/2ρ(x2,x)<1/2

考虑 ε=1/n\varepsilon=1/nε=1/n,因为 xxx 属于半径为 1/n1/n1/n 的开球集的并,所以至少有一个开球包含 xxx,这个开球的圆心记作 xnx_nxn,且有 xn∈Bx_n\in BxnB,ρ(xn,x)<1/n\rho(x_n,x)<1/nρ(xn,x)<1/n

由此,我们可以得到一个数列 {xn},ρ(xn,x)=1/n\{x_n\},\rho(x_n,x)=1/n{xn},ρ(xn,x)=1/n,所以 xn→xx_n\to xxnx,且 xn∈Bx_n\in BxnB

由 4 推 1:

闭包的性质


2022年4月11日20:51:39

2022年5月19日 添加了证明

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