稠密性的等价定义与证明 | 稠密性的充要条件

设 $A,B$ 均为距离空间 $X$ 的子集，如果 $\overline{B}\supset A$，则称 $B$ 在 $A$ 中稠密。

稠密性有以下几个等价定理：

1. $\overline{B}\supset A$
2. 对于任给的 $x\in A$ 以及任给的 $\epsilon >0$，存在 $B$ 中的点 $y$ 使 $\rho (x,y)<\epsilon$
3. 对于任给的 $\epsilon >0$，以 $B$ 中的每个点为中心，以 $\epsilon$ 为半径的全部开球的并包含 $A$
4. 对于任给的 $x\in A$，存在 $B$ 中的点列 {xn}\{ x_n\}{xn​} 收敛于 $x$

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例如：有理数集在实数集上稠密。

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由 1 推 2：
$\forall x\in A$ 因为 $x\in A\subset \overline{B}$，所以 $\forall \epsilon >0,\exists y\in B,\mathrm{s}.\mathrm{t}.\rho (x,y)<\epsilon$ （闭包的定义）

由 2 推 3：
显然

由 3 推 4：

$\forall x\in A$

考虑 $\epsilon =1$，因为 $x$ 属于半径为 $1$ 的开球集的并，所以至少有一个开球包含 $x$，这个开球的圆心记作 $x_1$，且有 $x_1\in B$，$\rho (x_1,x)<1$

考虑 $\epsilon =1/2$，因为 $x$ 属于半径为 $1/2$ 的开球集的并，所以至少有一个开球包含 $x$，这个开球的圆心记作 $x_2$，且有 $x_2\in B$,$\rho (x_2,x)<1/2$

…

考虑 $\epsilon =1/n$，因为 $x$ 属于半径为 $1/n$ 的开球集的并，所以至少有一个开球包含 $x$，这个开球的圆心记作 $x_n$，且有 $x_n\in B$,$\rho (x_n,x)<1/n$

…

由此，我们可以得到一个数列 {xn},ρ(xn,x)=1/n\{x_n\},\rho(x_n,x)=1/n{xn​},ρ(xn​,x)=1/n,所以 $x_n\to x$，且 $x_n\in B$

由 4 推 1：

闭包的性质

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2022年4月11日20:51:39

2022年5月19日 添加了证明