理解数学概念——稠密性(density)

目录

1. 定义

2. 等价定义

3. 直观理解

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1. 定义

         在拓扑学(topology)和数学相关领域中，对于一个拓扑空间 X 的一个子集 A，若 X的每一个点要么属于A ，要么无限“接近”X的某个成员，则称这个子集 A 是稠密的(dense)或称A具有稠密性(density)。换言之，X的每一个点都可以被其子集A 中的点等同或很好地逼近。例如，比率数集(rational numbers)是实数(real numbers)的稠密子集，因为每一个实数要么是一个比率数，要么是一个无限接近比率数的数。正式地讲，若X的包含A的最小闭子集是X自身，则A是稠密的。

2. 等价定义

         对于一个拓扑空间X 的一个子集 A，若满足下列等价条件中任意一个 ，则称 A 是 X的一个稠密子集：

(1) 若 X 的包含A 的最小闭子集是X自身。

(2) A 在 X 中的闭包等于 X 。

(3) A 的补集之内部是空 。

(4) X 中的每一个点要么属于 A ，要么是A的一个极限点。

(5) 对于每一个 x∈A ，x 的每一个邻域都与 A 相交。

(6) A与X的每一个非空开子集相交。

若 ℬ 是 X 上拓扑之开集的一个基，则这个等价条件可以扩展以包括：

(7) 对于每一个 x∈A ，x 的每一个基本 (basic) 邻域B∈ℬ 与 A 相交。

(8) A 与每一个非空的邻域 B∈ℬ 相交。

3. 直观理解

    以实数轴为例，在实数轴的任意位置切割，必有一实数存在，这体现了实数轴的连续性，确保了实数轴的完备性。而对于实数轴上的任意开区间，无论其如何地小，它总含有一个或多个比率数(rational numbers)，这体现了比率数的稠密性。