本文介绍了随机变量特征函数的概念及计算方法，并通过均匀分布U(a,b)的例子详细展示了如何求解特征函数。对于理解随机变量的概率特性具有重要作用。
设 XXX 是一个随机变量，称
φ(t)=E(eitX),−∞<t<∞\varphi(t)=E(e^{itX}),-\infty<t<\inftyφ(t)=E(eitX),−∞<t<∞
为 XXX 的 特征函数
例：
均匀分布 U(a,b) 因为密度函数为
p(x)={1b−a,a<x<b0,其他p(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{b-a},\quad a<x<b\\ &0,\quad 其他\end{aligned}\right.p(x)=⎩⎨⎧b−a1,a<x<b0,其他
所以其特征函数为
φ(t)=∫abeitxb−adx=eibt−eiatit(b−a)\varphi(t)=\int_a^b\frac{e^{itx}}{b-a}{\rm d}x=\frac{e^{{\rm i}bt}-e^{{\rm i}at}}{{\rm i}t(b-a)}φ(t)=∫abb−aeitxdx=it(b−a)eibt−eiat
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