使用特征函数计算随机变量的数学期望和方差

特征函数的性质： 若 $E(X^l)$ 存在，则 $X$ 的特征函数 $\phi (t)$ 可 $l$ 次求导，且对 $1⩽k⩽l$ 有

$${\phi }^{(k)}(0)={\mathrm{i}}^{k}E(X^k)$$

上式提供了一条求随机变量的各阶矩的途径，特别可用下式去求数学期望和方差

$$E(X)=\frac{{\phi }^{\prime }(0)}{\mathrm{i}}$$

$$\begin{array}{rl}Var(X)& =E(X^2)-[E(X){]}^2\\ & =-{\phi }^{\prime \prime }(0)+({\phi }^{\prime }(0){)}^2\end{array}$$