每日一题/014/三角函数/和差化积/求证：cos 2+cos 4+cos 6+...+cos 2n=sin ncos(n+1)/sin1

博客给出了三角函数求和公式 cos2+cos4+⋯+cos2n=sin1sinncos(n+1) 的证明过程。借助积化和差与和差化积的两个公式，通过一系列推导得出最终结果。

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题目：
证明：
$cos⁡2+cos⁡4+⋯+cos⁡2n=sin⁡ncos⁡(n+1)sin⁡1\cos 2+\cos 4+\cdots+\cos 2n=\frac{\sin n\cos(n+1)}{\sin 1}$

参考答案：
首先不加证明的给出两个公式（积化和差和和差化积其中的两个公式）

$sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)]$

$sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2\sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$

$sin⁡1(cos⁡2+cos⁡4+⋯+cos⁡2n)=sin⁡1cos⁡2+sin⁡1cos⁡4+⋯+sin⁡1cos⁡2n=12(sin⁡3−sin⁡1)+12(sin⁡5−sin⁡3)+⋯+12(sin⁡(2n+1)−sin⁡(2n−1))=12(−sin⁡1+sin⁡3−sin⁡3+sin⁡5−sin⁡5+sin⁡7+⋯−sin⁡(2n−1)+sin⁡(2n+1))=12(sin⁡(2n+1)−sin⁡1)=cos⁡(n+1)sin⁡n\begin{aligned} \sin1(\cos2+\cos 4+\cdots+\cos 2n)&=\sin1\cos2+\sin1\cos4+\cdots+\sin1\cos2n\\ &=\frac{1}{2}(\sin 3-\sin1)+\frac{1}{2}(\sin5-\sin3)+\cdots+\frac{1}{2}(\sin(2n+1)-\sin(2n-1))\\ &=\frac{1}{2}(-\sin1+\sin3-\sin3+\sin 5-\sin 5+\sin7+\cdots-\sin(2n-1)+\sin(2n+1))\\ &=\frac{1}{2}(\sin(2n+1)-\sin1)\\ &=\cos(n+1)\sin n \end{aligned}$