每日一题/015/tr(AB)=tr(BA)/反对称矩阵的充要条件/如果 AA‘=-A^2,那么是反对称矩阵

题目:
证明 A\boldsymbol{A}A 是反对称矩阵的充要条件是 AA′=−A2\boldsymbol{AA}'=-\boldsymbol{A}^2AA=A2


参考答案:

必要性显然
先介绍两个引理,然后再给出充分性的证明

引理一:

tr(AB)=tr(BA)\mathrm{tr}(\boldsymbol{AB})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{BA})tr(AB)=tr(BA)

证明:

(AB)ii=∑j=1naijbji (\boldsymbol{AB})_{ii}=\sum_{j=1}^na_{ij}b_{ji}\\ (AB)ii=j=1naijbji

tr(AB)=∑i=1n(AB)ii=∑i=1n∑j=1naijbji\mathrm{tr}(\boldsymbol{AB})=\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{AB})_{ii}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}b_{ji}tr(AB)=i=1n(AB)ii=i=1nj=1naijbji

同理

tr(BA)=∑i=1n(BA)ii=∑i=1n∑j=1nbijaji=∑i=1n∑j=1najibij=∑j=1n∑i=1naijbji=∑i=1n∑j=1naijbji=tr(AB)\begin{aligned} \mathrm{tr}(\boldsymbol{BA})=\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{BA})_{ii}&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nb_{ij}a_{ji}\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ji}b_{ij}\\ &=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^na_{ij}b_{ji}\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}b_{ji}=\mathrm{tr}(\boldsymbol{AB}) \end{aligned}tr(BA)=i=1n(BA)ii=i=1nj=1nbijaji=i=1nj=1najibij=j=1ni=1naijbji=i=1nj=1naijbji=tr(AB)
证毕

引理二:

矩阵 A\boldsymbol{A}A 为对称矩阵,且 A2=0\boldsymbol{A}^2=0A2=0,那么 A=0\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}A=0

证明:

(A2)ii=∑j=1naijaji=∑j=1naij2=0(\boldsymbol{A}^2)_{ii}=\sum_{j=1}^na_{ij}a_{ji}=\sum_{j=1}^na_{ij}^2=0(A2)ii=j=1naijaji=j=1naij2=0

这说明 A\boldsymbol{A}A 的第 iii 行都为零,继而得到 A\boldsymbol{A}A 的每一行都为零,从而A=0\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}A=0

下面我们再来证明原命题的充分性

因为 A2=−AA′\boldsymbol{A}^2=-\boldsymbol{AA}'A2=AA,两边取转置,得到 A′2=−AA′\boldsymbol{A}'^2=-\boldsymbol{AA}'A2=AA

(A+A′)2=A2+A′2+AA′+A′A=−AA′−AA′+AA′+A′A=A′A−AA′\begin{aligned} (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}')^2&=\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}'^2+\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}'+\boldsymbol{A}'\boldsymbol{A}\\ &=-\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}'-\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}'+\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}'+\boldsymbol{A}'\boldsymbol{A}\\ &=\boldsymbol{A}'\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}' \end{aligned}(A+A)2=A2+A2+AA+AA=AAAA+AA+AA=AAAA

tr((A+A′)2)=tr(A′A−AA′)=tr(A′A)−tr(AA′)=0\begin{aligned} \mathrm{tr}\left((\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}')^2\right)&=\mathrm{tr}(\boldsymbol{A}'\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}')\\ &=\mathrm{tr}(\boldsymbol{A}'\boldsymbol{A})-\mathrm{tr}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}')=0 \end{aligned}tr((A+A)2)=tr(AAAA)=tr(AA)tr(AA)=0

最后一步是根据引理一得到的

又因为 B=(A+A′)\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}')B=(A+A) 是对称矩阵,tr(B2)=0\mathrm{tr}(\boldsymbol{B}^2)=0tr(B2)=0,所以 B=0\boldsymbol{B}=\boldsymbol{0}B=0,所以 A=−A′\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{A}'A=A, A\boldsymbol{A}A 为反对称矩阵

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