每日一题/015/tr(AB)=tr(BA)/反对称矩阵的充要条件/如果 AA‘=-A^2,那么是反对称矩阵

题目：
证明 $A\boldsymbol{A}$ 是反对称矩阵的充要条件是 $AA′=−A2\boldsymbol{AA}'=-\boldsymbol{A}^2$

参考答案：

必要性显然
先介绍两个引理，然后再给出充分性的证明

引理一：

$tr(AB)=tr(BA)\mathrm{tr}(\boldsymbol{AB})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{BA})$

证明：

$(\boldsymbol{AB})_{ii}=\sum_{j=1}^na_{ij}b_{ji}\\$

则

$tr(AB)=∑i=1n(AB)ii=∑i=1n∑j=1naijbji\mathrm{tr}(\boldsymbol{AB})=\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{AB})_{ii}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}b_{ji}$

同理

$tr(BA)=∑i=1n(BA)ii=∑i=1n∑j=1nbijaji=∑i=1n∑j=1najibij=∑j=1n∑i=1naijbji=∑i=1n∑j=1naijbji=tr(AB)\begin{aligned} \mathrm{tr}(\boldsymbol{BA})=\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{BA})_{ii}&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nb_{ij}a_{ji}\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ji}b_{ij}\\ &=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^na_{ij}b_{ji}\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}b_{ji}=\mathrm{tr}(\boldsymbol{AB}) \end{aligned}$
证毕

引理二：

矩阵 $A\boldsymbol{A}$ 为对称矩阵，且 $A2=0\boldsymbol{A}^2=0$ ,那么 $A=0\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}$

证明：

$(A2)ii=∑j=1naijaji=∑j=1naij2=0(\boldsymbol{A}^2)_{ii}=\sum_{j=1}^na_{ij}a_{ji}=\sum_{j=1}^na_{ij}^2=0$

这说明 $A\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行都为零，继而得到 $A\boldsymbol{A}$ 的每一行都为零，从而 $A=0\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}$

下面我们再来证明原命题的充分性

因为 $A2=−AA′\boldsymbol{A}^2=-\boldsymbol{AA}'$ ,两边取转置，得到 $A′2=−AA′\boldsymbol{A}'^2=-\boldsymbol{AA}'$

$(A+A′)2=A2+A′2+AA′+A′A=−AA′−AA′+AA′+A′A=A′A−AA′\begin{aligned} (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}')^2&=\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}'^2+\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}'+\boldsymbol{A}'\boldsymbol{A}\\ &=-\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}'-\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}'+\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}'+\boldsymbol{A}'\boldsymbol{A}\\ &=\boldsymbol{A}'\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}' \end{aligned}$

$tr((A+A′)2)=tr(A′A−AA′)=tr(A′A)−tr(AA′)=0\begin{aligned} \mathrm{tr}\left((\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}')^2\right)&=\mathrm{tr}(\boldsymbol{A}'\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}')\\ &=\mathrm{tr}(\boldsymbol{A}'\boldsymbol{A})-\mathrm{tr}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}')=0 \end{aligned}$

最后一步是根据引理一得到的

又因为 $B=(A+A′)\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}')$ 是对称矩阵， $tr(B2)=0\mathrm{tr}(\boldsymbol{B}^2)=0$ ,所以 $B=0\boldsymbol{B}=\boldsymbol{0}$ ,所以 $A=−A′\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{A}'$ , $A\boldsymbol{A}$ 为反对称矩阵