每日一题/009/微积分/极限/连续

题目：
试确定 $a,b$ 的值，使
$$f(x)=\{\begin{array}{cl}\frac{\ln \left(1+a{x}^3\right)}{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}& x<0\\ b& x=0\\ \frac{1}{x}\ln \frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}& x>0\end{array}$$

在 $x=0$ 处连续

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参考答案:
根据极限的定义

函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 点处连续 等价于 $f(0^{-})=f(0)=f(0^{+})$

而

$$\begin{array}{rl}f(0^{+})& =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}\ln \frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}\\ & =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}-1}{x}\\ & =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{-2}{1+x+x^2}\\ & =-2\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}f(0^{-})& =\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\ln \left(1+a{x}^3\right)}{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}\\ & =\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{a{x}^3}{\sqrt{1+\frac{\sin x}{\cos x}}-\sqrt{1+\sin x}}\\ & =\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{a{x}^3\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x+\sin x}-\sqrt{\cos x+\sin x\cos x}}\\ & =\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{a{x}^3\sqrt{\cos x}(\sqrt{\cos x+\sin x}+\sqrt{\cos x+\sin x\cos x})}{\cos x+\sin x-\cos x-\sin x\cos x}\\ & =\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{a{x}^3}{\sin x-\sin x\cos x}\cdot \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\sqrt{\cos x}(\sqrt{\cos x+\sin x}+\sqrt{\cos x+\sin x\cos x})\\ & =\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{2a{x}^3}{\sin x(1-\cos x)}\\ & =\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{2a{x}^3}{x\cdot \frac{1}{2}{x}^2}\\ & =4a\end{array}$$

于是就有
$$4a=-2=b$$

所以
$$a=-1/2,b=-2$$

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2021年1月4日22:26:03