二元函数可重积分的条件

必要条件

函数在区间 $I$ 上有界

充要条件

设 $f$ 在 $I$ 上的有界函数，则下列条件等价：

1. $f$ 在 $I$ 上 Riemann 可积
2. $f$ 在 $I$ 上的上积分和下积分相等
3. ${\lim }_{||x||\to 0}{\sum }_{i,j}{\omega }_{ij}v(I_{ij})=0$
4. 任给 $\epsilon >0$, 存在 $I$ 的某个分割 $\pi$ 使得
   $$S(\pi )-s(\pi )=\sum _{ij}{\omega }_{ij}v(I_{ij})<\epsilon$$
5. 任意 $\epsilon ,\eta >0$，存在划分 $\pi$，使得：
   $$\sum _{{\omega }_{ij}>\eta }v(I_{ij})<\epsilon$$
6. (lebesgue). 矩形 $I$ 上的有界函数 $f$ 是 Riemann 可积的当且仅当 $f$ 的间断点集 $D_f$ 为零测集
7. 若 $f$ 在 $I$ 上可积，而 $J\subset I$ 为子长方形区域，则 $f$ 在 $J$ 上可积
8. 若矩形区域 $I$ 可被有限多矩形区域 {Jk}k=1m\{J_k\}_{k=1}^m{Jk​}k=1m​ 覆盖，且 $f$ 在每个 $J_k$ 上都可积，则 $f$ 在 $I$ 上可积