零测集是指在平面中具有特定性质的点集，即使得其可以被极少量的闭矩形覆盖且总面积小于任意给定正数。博客介绍了零测集的基本特性，包括有限点集、零测集子集、可数个零测集的并集等都是零测集，并指出一元可积函数的图像也是零测集。这揭示了测度论中关于集合测度的重要概念。
零测集的定义
设 A⊂R2A\subset \mathbb{R}^2A⊂R2 为平面点集. 如果任给 ε>0\varepsilon>0ε>0，存在至多可数个闭矩形
Ii,i=1,2,⋯ I_i,i=1,2,\cdots Ii,i=1,2,⋯
使得
A⊂Ui⩾1Ii, 且 ∑i⩾1v(Ii)<ϵ A\subset U_{i\geqslant 1}I_i, \ \ 且\ \ \sum_{i\geqslant 1}v(I_i)<\epsilon A⊂Ui⩾1Ii, 且 i⩾1∑v(Ii)<ϵ
则称 AAA 为零测集
零测集的基本定理
- 有限点集均为零测集
- 零测集的子集均为零测集
- 可数个零测集之并仍为零测集
- 矩形的边是零测集
- 设 fff 为 [a,b][a,b][a,b] 上的一元可积函数，则其图像 graph(f)={(x,f(x))∣x∈[a,b]}⊂R2{\rm graph}(f)=\{(x,f(x))|x\in[a,b]\}\subset\mathbb{R}^2graph(f)={(x,f(x))∣x∈[a,b]}⊂R2 为零测集
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