二重积分问题、计算法则与注意事项汇总

提示：本文的适用对象为已修过《微积分A1》的非数学系学生，文中题型方法为个人总结，为个人复习使用。部分理解虽然不太严谨，但对于解题的实用性较强。若有疏漏or错误，欢迎批评指正。

---

摘要

本文主要介绍的内容有：

1、重积分的概念与本质

2、重积分的几何意义与运算方法

3、利用重积分的性质解题（题型汇总）

！！！重点汇总重积分计算的相关题型，并为每一种题型提供例题与明晰的解题思路

---

一、重积分是什么？

1、重积分的概念

  我们都知道，一元函数定积分的概念构建，本质上是”带点分割——取模计算黎曼和极限——验证黎曼和极限与取点的任意性无关“，重积分的概念也可由类似思路推得，我们以二重积分为例，主要解决以下几个问题：

1、在上如何进行分割？

2、如何取模最理想？

3、如何验证黎曼和极限与分割时取点的任意性无关？

在不规则的区域内，这些问题很难找到答案，因此，我们将积分区域首先限制在平面上的一个矩形域中，在这个矩形域中，可以将其分割成呈网格状的一个又一个小矩形，随后取所有矩形对角线长度的最大值作为分割的模，然后即可求出黎曼和的极限。若此黎曼和式的极限存在，且该极限值与分割的任意性、取点的任意性无关，则称此函数在这个矩形域内可积。下面我们就来探究一下，什么样的二元函数在该矩形域内可积？

  我们略过与达布上和等的有关推导，可得以下两个结论：

1、若二元函数在矩形域内连续，则其一定可积

2、若二元函数在矩形域上的间断点构成的集合是零面积集，则可积（在通常情况下，可理解为“有限个间断点”）

得到了二元函数在矩形域下的可积条件，我们再将其推广到任意区域中时，我们可以写出

</