定义： 矩阵
A
A
A 称为反称的，如果
A
T
=
−
A
A^T=-A
AT=−A
定理： 任一
n
×
n
n\times n
n×n 矩阵都可表为一对称矩阵和反称矩阵之和
证明：
A
=
1
2
A
+
1
2
A
=
1
2
(
A
−
A
T
)
+
1
2
(
A
+
A
T
)
\begin{aligned} A&=\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}A\\ &=\frac{1}{2}(A-A^T)+\frac{1}{2}(A+A^T)\\ \end{aligned}
A=21A+21A=21(A−AT)+21(A+AT)
下证明：
(
A
−
A
T
)
T
(A-A^T)^T
(A−AT)T 是反称矩阵，
(
A
+
A
T
)
T
(A+A^T)^T
(A+AT)T 是对称矩阵
(
A
−
A
T
)
T
=
A
T
−
A
=
−
(
A
−
A
T
)
(
A
+
A
T
)
T
=
A
T
+
A
=
A
+
A
T
\begin{aligned} (A-A^T)^T&=A^T-A=-(A-A^T)\\ (A+A^T)^T&=A^T+A=A+A^T \end{aligned}
(A−AT)T(A+AT)T=AT−A=−(A−AT)=AT+A=A+AT
证毕
任一矩阵都可表为一对称矩阵和反称矩阵之和
最新推荐文章于 2024-06-10 22:20:44 发布
本文介绍了一个重要的数学结论：任意一个方阵都可以被分解为一个对称矩阵和一个反称矩阵的和。通过对矩阵进行特定的线性组合，我们能够直观地理解这一过程，并给出了详细的证明。
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