压缩映射不动点定理

压缩映射

设 $A$ 为 $X$ 的子集，映射 $f:A\to A$ 如果满足以下条件：

存在常数 $0\le q<1$, 使得 $\rho (f(a_1),f(a_2)\le q\rho (a_1,a_2),\forall a_1,a_2\in A$

则称为压缩映射

压缩映射原理

设 $A$ 为完备度量空间 $X$ 中的闭集，$f:A\to A$ 为压缩映射，则存在唯一的点 $a\in A$，使得 $f(a)=a$(不动点)

证明

任取 $a_0\in A$,递归的定义 $A$ 中点列 { a n } \{a_n\} {an​}如下：
$$a_n=f(a_{n-1}),n=1,2,\cdots$$
则
$$\rho (a_{n+1},a_n)=\rho (f(a_n)-f(a_{n-1}))\le q\rho (a_n,a_{n-1}),\forall n\ge 1$$
从而有
$$\begin{array}{rl}\rho (a_{n+1},a_n)& \le q\rho (a_n,a_{n-1})\le q^2\rho (a_{n-1},a_{n-2})\le \cdots \le q^n\rho (a_1,a_0)\\ \rho (a_m,a_n)& \le \rho (a_m,a_{m-1})+\rho (a_{m-1},a_{m-2})+\cdots +\rho (a_{n+1},a_n)\\ & \le (q^{m-1}+q^{m-2}+\cdots +q^n)\rho (a_1,a_0)\\ & \le \frac{q^n}{1-q}\rho (a_1,a_0)\to 0,(m>n,n\to \infty )\end{array}$$
这说明 { a n } \{a_n\} {an​} 为 Cauchy 列. 设其极限为 $a$,则 $a\in A$，由三角不等式得
$$\begin{array}{rl}\rho (f(a),a)& \le \rho (f(a),f(a_n))+\rho (f(a_n),a)\\ & \le q\rho (a,a_n)+\rho (a_{n+1},a)\\ & \le \epsilon (n\to \infty )\end{array}$$
这说明 $f(a)=a$
唯一性：若 $f(b)=b$ ,则
$$\rho (a,b)=\rho (f(a),f(b))\le q\rho (a,b)$$
这说明 $\rho (a,b)=0$ ，从而 $a=b$