实数域上的压缩映射不动点原理_tn是压缩映射证明t存在不动点-优快云博客

该博客详细证明了一个定理，如果函数f在闭区间[a,b]上连续且满足特定的界条件和差分约束，那么存在且唯一一个点x̄使得f(x̄) = x̄。文章通过构造数列xn并利用柯西收敛原理来展示数列的收敛性，最终得出结论。

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定理：

设 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， $x,y∈[a,b]\forall\,x,y\in[a,b]$ ,满足 $a⩽f(x)⩽ba\leqslant f(x)\leqslant b$ 及 $∣f(x)−f(y)∣⩽a⋅∣x−y∣(0⩽a<1)|f(x)-f(y)|\leqslant a\cdot |x-y|(0\leqslant a<1)$ . 此时：存在唯一的 $xˉ∈[a,b]\bar{x}\in[a,b]$ ,使得 $f(xˉ)=xˉf(\bar{x})=\bar{x}$ .

证明：

任意确定 $x0∈[a,b]x_0\in[a,b]$ ,令 $)x_n=f(x_{n-1})(n=1,2,\cdots)$ ,则

$∣xn+1−xn∣=∣f(xn)−f(xn−1)∣⩽a∣xn−xn−1∣|x_{n+1}-x_{n}|=|f(x_n)-f(x_{n-1})|\leqslant a|x_n-x_{n-1}|$

从而不难得到：

$∣xn+1−xn∣⩽an∣x1−x0∣|x_{n+1}-x_{n}|\leqslant a^n|x_1-x_0|$

从而对任意的自然数 $p$ ，有：

$∣xn+p−xn∣⩽∣xn+p−xn+p−1∣+∣xn+p−1−xn+p−2∣+⋯+∣xn+1−xn∣⩽an+p−1∣x1−x0∣+an+p−2∣x1−x0∣+⋯+an∣x1−x0∣=an1−ap1−a∣x1−x0∣⩽an1−a∣x1−x0∣\begin{aligned} |x_{n+p}-x_n|&\leqslant|x_{n+p}-x_{n+p-1}|+|x_{n+p-1}-x_{n+p-2}|+\cdots+|x_{n+1}-x_n|\\ &\leqslant a^{n+p-1}|x_1-x_0|+a^{n+p-2}|x_1-x_0|+\cdots+a^n|x_1-x_0|\\ &=a^n\frac{1-a^{p}}{1-a}|x_1-x_0|\\ &\leqslant\frac{a^n}{1-a}|x_1-x_0| \end{aligned}$

从而

$lim⁡n→∞∣xn+p−xn∣⩽lim⁡n→∞an1−a∣x1−x0∣=0\lim_{n\to\infty}|x_{n+p}-x_n|\leqslant\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{1-a}|x_1-x_0|=0$

根据柯西收敛原理，数列 ${x_n\}$ 收敛，极限记作 $xˉ\bar{x}$ ,从而

$lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞f(xn−1)=xˉ\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}f(x_{n-1})=\bar{x}$

由于 $f (x)$ 连续，所以

$xˉ=lim⁡n→∞f(xn−1)=f(lim⁡x→∞xn−1)=f(xˉ)\bar{x}=\lim_{n\to\infty}f(x_{n-1})=f(\lim_{x\to\infty}x_{n-1})=f(\bar{x})$

下证唯一性.

假设还有 $yˉ∈[a,b],yˉ≠xˉ\bar{y}\in[a,b],\bar{y}\ne\bar{x}$ ,使 $f(yˉ)=yˉf(\bar{y})=\bar{y}$ ,则 $∣f(yˉ)−f(xˉ)∣=∣yˉ−xˉ∣|f(\bar{y})-f(\bar{x})|=|\bar{y}-\bar{x}|$ ,另一方面,由题设知 $∣f(yˉ)−f(xˉ)∣⩽α∣yˉ−xˉ∣(0⩽α<1)|f(\bar{y})-f(\bar{x})|\leqslant \alpha|\bar{y}-\bar{x}|\quad(0\leqslant\alpha<1)$ . 故 $∣yˉ−xˉ∣⩽α∣yˉ−xˉ∣|\bar{y}-\bar{x}|\leqslant\alpha|\bar{y}-\bar{x}|$ ,矛盾.因此 $xˉ\bar{x}$ 是唯一的.