均匀带电直线外一点的场强

原创已于 2022-02-18 16:07:49 修改 · 1.6w 阅读

51 ·

CC 4.0 BY-SA版权

抓住一只白嫖怪(｀・ω・´)

文章标签：

#概率论 #线性代数 #算法

于 2020-10-17 13:38:54 首次发布

大学物理专栏收录该内容

6 篇文章

订阅专栏

真空中有均匀带电直线，长为 $L$ ，总电量为 $q$ 。
线外有一点 $P$ ，离开直线的垂直距离为 $a$ ， $P$ 点和直线两端连线的夹角分别为 $θ1\theta_1$ 和 $θ2\theta_2$ 。求 $P$ 点的场强。
（设电荷线密度为 $λ\lambda$ ）
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 在这里插入图片描述
取一电荷元： $dq=λdxdq=\lambda dx$
则
$dx4πεor2cos⁡θ(1){\bf{d}}E_x = \frac{{\lambda \,{\bf{d}}x}}{{4\pi {\varepsilon _o}{r^2}}}\cos\theta\tag{1}$
$dx4πεor2sin⁡θ(2){\bf{d}}E_y = \frac{{\lambda \,{\bf{d}}x}}{{4\pi {\varepsilon _o}{r^2}}}\sin\theta\tag{2}$

我们首先处理式子（1）：
$cos⁡θ4πεor2dx(1.1)\begin{aligned} E_x&=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{{\lambda \,{\bf{d}}x}}{{4\pi {\varepsilon _o}{r^2}}}\cos\theta\\ &=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{\lambda \,\cos\theta}{4\pi {\varepsilon _o}{r^2}}\bf{d}x\\ \end{aligned}\tag{1.1}$
其中 $-\frac{a}{\tan\theta}$ , $r=asinθr=\frac{a}{sin\theta}$

则(1.1)可化为：
$cos⁡θ4πεor2dx=∫θ1θ2λcos⁡θ4πε0a2sin⁡2θasin⁡2θdθ=∫θ1θ2λcos⁡θ4πε0adθ=λ4πε0a(sin⁡θ2−sin⁡θ1)(1.2)\begin{aligned} E_x &=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{\lambda \,\cos\theta}{4\pi {\varepsilon _o}{r^2}}\bf{d}x\\ &=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{\lambda\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0\frac{a^2}{\sin^2\theta}}\frac{a}{\sin^2\theta}d\theta\\ &=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{\lambda\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0a}d\theta\\ &=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0a}(\sin\theta_2-\sin\theta_1)\tag{1.2} \end{aligned}$

现在处理式子（2）：
$sin⁡θ4πεor2dx(2.1)\begin{aligned} E_y&=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{{\lambda \,{\bf{d}}x}}{{4\pi {\varepsilon _o}{r^2}}}\sin\theta\\ &=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{\lambda \,\sin\theta}{4\pi {\varepsilon _o}{r^2}}\bf{d}x\\ \end{aligned}\tag{2.1}$
其中 $-\frac{a}{\tan\theta}$ , $r=asinθr=\frac{a}{sin\theta}$

则(1.1)可化为：
$sin⁡θ4πεor2dx=∫θ1θ2λsin⁡θ4πε0a2sin⁡2θasin⁡2θdθ=∫θ1θ2λsin⁡θ4πε0adθ=λ4πε0a(cos⁡θ1−cos⁡θ2)(2.2)\begin{aligned} E_y &=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{\lambda \,\sin\theta}{4\pi {\varepsilon _o}{r^2}}\bf{d}x\\ &=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{\lambda\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0\frac{a^2}{\sin^2\theta}}\frac{a}{\sin^2\theta}d\theta\\ &=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{\lambda\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0a}d\theta\\ &=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0a}(\cos\theta_1-\cos\theta_2)\tag{2.2} \end{aligned}$
特别的，当通电导线无限长时， $θ1=0\theta_1=0$ , $θ2=π\theta_2=\pi$
$\begin{aligned} E_x &=0\\ E_y&=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0a} \end{aligned}$