Pairs Forming LCM LightOJ - 1236————（算术基本定理+容斥）

最新推荐文章于 2022-02-09 16:45:00 发布

陶鸿杰

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分类专栏：唯一分解定理

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本文介绍了一种高效算法，用于求解给定整数n下，所有满足最小公倍数等于n的数对(i, j)，其中1≤i≤j≤n。通过分解质因数并利用数学性质减少计算复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Find the result of the following code:

long long pairsFormLCM( int n ) {
    long long res = 0;
    for( int i = 1; i <= n; i++ )
        for( int j = i; j <= n; j++ )
           if( lcm(i, j) == n ) res++; // lcm means least common multiple
    return res;
}

A straight forward implementation of the code may time out. If you analyze the code, you will find that the code actually counts the number of $pairs (i, j)$ for which $lcm(i, j) = n$ and $(i ≤ j).$

Input
Input starts with an integer $\; T (≤ 200),$ denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing an integer $\;n (1 ≤ n ≤ 1014).$

Output
For each case, print the case number and the value returned by the function ‘pairsFormLCM(n)’.

Sample Input
15
2
3
4
6
8
10
12
15
18
20
21
24
25
27
29
Sample Output
Case 1: 2
Case 2: 2
Case 3: 3
Case 4: 5
Case 5: 4
Case 6: 5
Case 7: 8
Case 8: 5
Case 9: 8
Case 10: 8
Case 11: 5
Case 12: 11
Case 13: 3
Case 14: 4
Case 15: 2

题意：给你一个数n，找出 $(i,j)$ 使得 $lcm(i,j)=n$ ，其中 $1\le i\le j\le n$
问有多少对这样的 $(i,j)$

思路：对于n我们可以写成

n = p a 1 1 p a 2 2 \dots p a n n

$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_n^{a_n}$
同理，i和j也可以写成这个形式

i = p b 1 1 p b 2 2 \dots p b n n

$i=p_1^{b_1}p_2^{b_2}\cdots p_n^{b_n}$

j = p c 1 1 p c 2 2 \dots p c n n

$j=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\dots p_n^{c_n}$
因为

lcm(i,j)=nlcm(i,j)=n $\quad lcm(i,j)=n$
所以

a 1 = m a x (b 1, c 1) a 2 = m a x (b 2, c 2) \dots a n = m a x (b n, c n)

$a_1=max(b_1,c_1) \\ a_2=max(b_2,c_2)\\ \cdots \\ a_n=max(b_n,c_n)$
其中

b i o r c i = a i

$b_i\; or\; c_i =a_i$

当 $\; b_i\; =\;a_i\;$ 的时候， $0\le c_i \le a_i\;$ 有 $a_i+1$ 种情况
当 $\; c_i\; =\;a_i\;$ 的时候， $0\le b_i \le a_i\;$ 有 $a_i+1$ 种情况
一共有 $2(a_i+1)$ 种情况
但是 $b_i=c_i=a_i$ 的情况出现了两次，所以我们要去重，去重后结果是 $2a_i+1$ 种情况
又因为 $i\le j$
所以最终的结果

2 * a n s = \prod i = 1 n (2 a i + 1)

$2*ans=\prod_{i=1}^{n}(2a_i+1)$
故

a n s = \prod n i = 1 ( 2 a i + 1 ) 2

$ans=\frac{ \prod_{i=1}^{n}(2a_i+1)}{2}$

第一次做的时候没有打素数表，导致TLE一次…

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=1e7+9;
bool vis[MAXN];
int prime[1000000];
void getprime()
{
    prime[0]=0;
    for(int i=2;i<MAXN;i++)
    {
        if(!vis[i]) prime[++prime[0]]=i;
        for(int j=2;j*i<MAXN;j++)
            vis[i*j]=1;
    }
}

int main()
{
    int t;
    int kase=0;
    getprime();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        ll n;
        ll ans=1;
        scanf("%lld",&n);
        for(ll i=1;(long long)prime[i]*prime[i]<=n&&i<prime[0];i++)
        {
            int cnt=0;
            if(n%prime[i]==0)
            {
                while(n%prime[i]==0)
                {
                    cnt++;
                    n/=prime[i];
                }
                ans*=2*cnt+1;
            }
        }
        if(n!=1)    ans*=2*1+1;
        printf("Case %d: %lld\n",++kase,(ans+1)/2);
    }
    return   0;
}