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ID：HL_5461
前言
本文为张宇老师《基础三十讲》高数第一讲的自用笔记。不做商用，侵删致歉！
例题的序号，以1.3.1为例，意思是壹里的第三个的第1个例题；例1.5.2.1意思是壹里的第五块的第2点的第一个例题，总之从标题一（大写的壹、贰、叁）往里数就是。
壹、函数的概念与特性
一、函数
1.概念
从图像上来看，函数可以分为三种：
| 序号 | 特点 | 简称 | 图像 |
| 1 | 一个x与一个y对应 | 一对一 |  |
| 2 | 多个x与一个y对应 | 多对一 |  |
| 3 | 一个x与多个y对应 | 一对多 |  |
我们将第1、第2种并称为单值函数，第3种称为多值函数。
通常来说，我们所说的“函数”都是指单值函数，多值函数不作为考研研究对象。
2.例题
这部分的考题主要为给出关系式求。
例1.1.1：设，
，则
。
思路：
对于这类题，方向是使等式左边出现等式右边括号内的表达式，一般喜欢将括号内表达式设为u，然后反解出x，再代入等式（如例2）。但是这题可以通过右边上下同除
的方式使右边直接出先括号内的表达式。
解：
（不难发现分子已经出现了
的形式，所以下一步为变换分母）
即
，
例1.1.2：设，求
。
思路：
方向依旧是使等式左边出现等式右边括号内的表达式。可以跟上一题一样凑出括号内表达式，也可以设括号内表达式为t，然后反解x代入右边。
解：
设
，
例1.1.3：设函数满足
，求
思路：
这种题一般是将括号内不是x的表达式视作x代入关系式得到公式2，原式作为公式1，两式结合求得
。
解：
联立消去
，解得
二、反函数
1.概念
如果不那么专业地看，反函数其实就是将一个函数图像沿轴对称。
举个栗子：
函数
，我们将它沿
轴对称，所以就得到
。
图像是酱紫的：
当然，上述只是为了方便理解，其实关于反函数还有两点需要注意：
①有反函数的函数一定是“一对一”型函数
前面说过，我们所说的“函数”一般指单值函数，而单值函数又有“一对一”和“多对一”两种。如不那么专业地说，反函数其实就是将一个函数图像沿轴对称，可是若函数为“多对一”型，那么它一对称，所得函数就变为了“一对多”型，也就不是我们所说的“函数”了，又何谈反“函数”。参考下图：
由此，我们还可以得出一个结论：严格单调函数必有反函数。
这也很容易理解，因为严格单调函数一定是“一对一”型函数。当然，有反函数的函数不一定是严格单调函数。因为“一对一”型函数不一定是严格单调函数。比如下图这个：
严格单调函数是有反函数的充分不必要条件
②只有交换字母以后图像才沿轴对称
这是个重点，有些题目喜欢在这里挖坑。这也是前面介绍概念时说“不那么专业的说”的原因。
因为如果不交换字母，比如函数，将它反解，以y为自变量，那就是
，不妨试着将它到纸上画画，两个函数图像完全重合。但是将反解出的表达式字母互换，函数也就变成了
，与函数
关于
轴对称。
这里将不互换的记作与
，将互换的记作
与
。
这里还有两个重要结论：
、
这也很容易理解，首先，括号内的是x，这说明是互换字母的情况，互换字母又是关于轴对称，也就说两种都是对称两次的结果，也可以看成两个逆运算约掉了，所以就是x。
还记得一个等式吗：。这是中学时学的很基础的对数运算，原来都是死记公式，但是结合反函数就很好理解了：
的反函数是
，对于
，先取个
，就是
，再取个
，就是
，由
，所以
。这个转换在后面的极限计算里有着重要作用。
2.例题
例1.2.1：求函数的反函数
的表达式及其定义域
思路：
没啥特别的思路，就是反解出x。重点是解法，感觉这解法还是很妙的。首先这个函数是严格单调递增函数，属于“一对一”型，所以不用分段讨论，可以直接反解（分段讨论的题以后再说）
解：
（感觉这一步真的想不到……emmm至少我这个废物想不到）
两边取e
……1
原式两边取e
……2
2-1得
反函数
定义域为
（定义域为原来的值域）
这里有一个重要结论：
| 名称 | 原函数 | 图像 | 奇偶性 | 反函数 | 反函数求导 |
| 双曲正弦 |  | 奇函数 | （反双曲正弦） | ||
| 双曲余弦 |  | 偶函数 | |
三、复合函数
1.概念
其实在例题1.1.1里面已经见过复合函数了：。设
，则原式为
，这就是一个复合函数。
的定义域为该复合函数的定义域，设
，u称为中间变量。
2.例题
例1.3.1：设，
，且
，求
及其定义域与值域
思路：
其实我感觉这里和例题1.1.2是差不多的，区别只在于例题1.1.2给的是里层的
求
方法是，将
解：
因为带根号，所以
即
所以定义域为
又
，显然
为最大值，
为最小值，值域为
例1.3.2：设，
，求
思路：
对于这一类题最好的方法就是画出里层函数的图形，将外层函数字母替换为里层函数，再将外层函数定义域与里层函数值域对应后将里层函数表达式代入外层函数
解：
时
；
时
。
例1.3.3：设，
，求
思路：
经过前面那题，看到这一题第一反应应该是无从下手，因为带根号的图我们根本画不出来啊
这里有一个很重要的等式
。用绝对值替换掉根号这一切就都迎刃而解了。事实上，很多带根号的公式无从下手的时候都可以考虑这样替换。
(笑，第一眼：这题跟前面一样，不想打字，不放算了。第二眼：emmm做不来）
解：
时
；
时
时
（注意，这里虽然后两段区间的
四、隐函数
1.概念
隐函数顾名思义隐藏的函数嘛。比如，隐藏一下变成了
就成了隐函数。
2.例题
对于隐函数，已知x怎么求y？最简单的是直接代入，代入算不出来就分为两个函数求交点。第一种太简单，重点在第二种。
例1.4.1：设函数由方程
确定，当x=2时，y=？
思路：
这个代入x=2后解方程是算不出来的，所以先代值再把方程挪一下，左右两边分别当成曲线看
解：
代入x=2，
左右两边图像如下
显然
其实吧……直接求求不出的隐函数一般是带对数函数和指数函数的。所以不妨直接试试
和
，一般就能直接得答案了，毕竟这俩函数的其它值……咱也不知道啊哈哈哈
五、函数的四种特性
1.有界性
（1）概念
函数有界其实说白了就是函数可以被“夹住”，像下图这样，红线（函数线）可以被蓝线（常数线）夹住：
但是正如这个图上只画了一小段，我们永远也不知道在其它地方它是否能被“夹住”。所以：
①函数有界一定要指明区间，不指明区间的有界都在耍流氓。
显然这么抽象的概念是无法运用到考题里的，我们需要精确的数学表达：
②在给定区间上，如果能找到某个正数，使得，则称函数在该区间上有界。
那么，怎样又是无界呢？显然要在该区间上找到一处的函数值无穷大或无穷小小才能保证没有M能够“夹住”这段函数。所以：
③在区间I上或其端点处存在，使得
，则函数
在区间I上无界
④无界不一定无穷
比如是在无穷大和0来回震荡，也就是不存在，显然无界，但又不符合无穷
（2）例题
例1.5.1.1：证明在
内有界
思路：
怎么说明函数有界？很显然概念里所说的②嘛，so，二话不说加了绝对值再看嘛。
本章的例题1.3.3里有提到
。
另外还有高中学过的不等式
。
（话说你们背的下来吗……我高中就背不下来，现在也是……）
解：
当
时，
当
时，
函数在
本题重要结论：
2.单调性
没啥可说，一表蔽之：
| 增 | |
| 减 | |
| 不减 | |
| 不增 |
3.奇偶性
（1）概念
为偶函数，
为奇函数。（区间关于原点对称）
下面是一些重要结论：
①
必是偶函数，
必是奇函数
这一点可以借助双曲正弦和双曲余弦函数记忆（见本章例1.2.1）
②任意函数都可以写作奇函数+偶函数的形式
③复合函数，内偶则偶，内奇同外
④求一次导，奇变偶偶变奇
可以用反双曲正弦求导
来记忆
⑤积分，奇变偶偶变奇
⑥若
，则
（2）例题
例1.5.3.1：求
思路：
看见积分区间对称，首先想奇偶，但显然该函数非奇非偶。由②，函数可以拆分为奇函数+偶函数，所以可以试着构造。（看到积分以为考⑤，结果还考了②哈哈哈）
解：
其中
是奇函数
所以原式
关于上一题，有一个结论。嗯，首先，根本想不到构造对吧？想不到就对了，想不到就直接背吧：
当
，形如
和
4.周期性
（1）概念
则以T为周期
一些重要结论：
①若以T为周期，则
以
为周期
记得三角函数吗？和
，嗯就酱紫记
②若是周期函数，则复合函数
也是周期函数
是不是和“内偶则偶”有亿点点像？
③若是以T为周期的可导函数，则
也以T为周期
④若是以T为周期的连续函数，则只有在
时，
也以T为周期
（2）例题
例1.5.4.1：设函数在
上满足
思路：
这题本来是证明以
为周期的，但是太简单了，所以就直接看以正常思路能得到些啥已知条件。
看到表达式首先想法是像本章例题1.1.3一样求出函数表达式，所以x代入
结果发现未知越来越多了，所以进一步想着x代入
，目的是使右边的
变为
解：
设原式为1式
令
，得到
……2
令
，得到
……3
联立1,2,3式得到
所以
（无法证明有界、单调、奇偶，所以本题如果作为前提条件只能说明周期性）
贰、函数的图像
一、基本初等函数与初等函数
概括一下就是：反对幂指三加常数函数
1.常数函数
①常数函数是偶函数
②常考交点个数
这其实是高中常考的，给一个方程，比如有几个根，就是将a挪过去讨论常数函数
和函数
有几个交点
③概率论常考求概率P
2.幂函数
（1）概念
重点是单调性和最值的研究：
| 与 与 | ||
| ① | 用 | |
| ② | 用 | |
| ③ | 用 | |
| ④ | 用 | |
至于为什么替代，原因是，要求最值首先得求导，而原来函数的导数都不太好求，替代之后可以直接将替代品占时视为原函数求导，得出的极值点都可直接当做原函数的极值点
（2）例题
例2.1.2.1：设研发成本x万元，宣传成本（a-x）万元，收益为，则收益最大时研发成本为
思路：
很明显属于
的最值问题，用
研究。求收益最大时研发成本，潜台词即求最大值点。
解：
（由于
具有相同单调性，也就说
时
也为0）
令
（导数为0是驻点）
当
时，
；当
时，
（导数先大于0后小于0为极大值）
所以
3.指数函数
没啥太重要的，so，先放个图吧：
重点：
①
可以将公式进行统一，比如可以写作
进而根据函数
的性质进行一系列运算
②
如
4.对数函数
①，
在后面极限计算有很大帮助
②
这个在前面逆函数写过，但这里要用这个公式做一个简单变形：这样一来这个无从下手的式子就变得简单了许多，而且回答了另一个疑问：
是不是初等函数？显然是的，因为他的确是基本初等函数经过有限次的四则运算所得到的（初等函数后面说）
5.三角函数
（超级大重点！！！）
（1）概念
三角函数部分：
| 三角函数 | 公式表达 | 其它关系 | 图像 |
| 正弦函数 | / |  | |
| 余弦函数 | / |  | |
| 正切函数 |  | ||
| 余切函数 |  | ||
| 正割函数 |  | ||
| 余割函数 |  |
一些重要结论：
①一拱的面积为2：
②
这是一个很明显，但是在放缩里面很好用的结论
③
如，
④
在后面的积分里面用的真的超级频繁
反三角函数部分：
| 反三角函数 | 公式表达 | 图像 |
| 反正弦函数 |  | |
| 反余弦函数 |  | |
| 反正切函数 |  | |
| 反余切函数 |  |
诚如前面所说，有反函数的函数必须为“一对一”型函数，正弦余弦函数显然不符合要求，那就人为让它符合要求。
正弦取这段单调递增的区间作反函数，所以对应出的定义域（原函数的值域）就是
，对应出的值域（原函数的定义域）就是
。这里将反正弦函数的值域称为主值区间，即
的主值区间为
。
余弦取这段单调递减的区间作反函数，所以对应出的定义域（原函数的值域）就是
，对应出的值域（原函数的定义域）就是
。这里将反正弦函数的值域称为主值区间，即
的主值区间为
。
正切、余切同理取一个区间，定义域均为，
值域为
，
值域为
。
一些重要结论如下：
①
，
，其中
这就是之前的
②
，其中
；
，其中
这是
，其实没啥难点，但是和第①对比一下，个人感觉这两个结论的定义域挺有意思的，可以聊一聊（下面以①和②的第一个公式为例）：
这其实也是一个复合函数，看作
的话，①的
，
；②的
，
。
内层函数的值域应该包含于外层函数的定义域，①的
。
但是②的定义域就不太能用上面方法考虑，因为顺着这个思路就会发现它的定义域成了
外，还要求了内层函数是一个“一对一”的函数，所以只能取
这一区间的范围。即
，要是把该函数的x换成y，也就说结论里的
也就说，①的定义域是外层函数定义域对里层函数值域限制和里层函数本身定义域的共同作用，②则在①的要求上加上了“一对一”这个外层函数的特色要求。
所以要特别注意，虽然有
一定等于
至于啥时候它俩相等……我没去查（我是懒鬼），个人感觉如果原函数“一对一”它俩定义域是一样的。
（对于它俩定义域的解释完全是个人的理解，估计有错误，有错误欢迎指出）
③
，
，其中
证
设
，
④
⑤
（2）例题
例2.1.5.1：设，作出该函数在
上的图像。
思路：
要作图先求表达式。看到这个函数第一反应肯定是
，没毛病，但想的太简单了。紧接着就会发现，区间不符合，因为
所以紧接着想函数性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性。有界嘛，看外层函数，显然有界；至于单调，肯定不单调，毕竟里层函数值一直在周期性变化；内偶则偶，内奇同外，显然是个奇函数，所以表达式只要研究一边就好；内层周期性，这个函数又显然是周期函数，由于
以
，代入发现不对。总结：这个函数是以
下面最难的重点来了，我们只学过
解：
，所以
当
当
，有
（先想办法把x挪到可以直接变化的区间上）
且
，即
（利用奇变偶不变把不可变化的x转变为可以变化的
（张老师这里直接用的
，这样可以少处理一步负号，但是我比较笨，只能想到直接先放到该放的区间上，所以我就按我的思路写了）
所以，当
时，
由于该函数是以
6.初等函数
前面讲的都是基本初等函数，基本初等函数经过有限次的四则运算并且可以由一个式子表达的就是初等函数。
①初等函数的区间可以是孤立的点
如的定义域是
②幂指函数也是初等函数
前面在贰、一、4.对数函数讲过。常见的变换式：
③初等函数在定义域上处处连续
二、分段函数
初等函数必须由一个式子表示，所以显然分段函数不是初等函数（有一个例外）。
下面是三个重要分段函数：
| 名称 | 表达式 | 图像 | 重点 |
| 绝对值函数 |  |  | 由于 |
| 符号函数 |  |  | 任意实数都有 |
| 取整函数 |  |  | 取整是取不大于该数的最大整数 ① ② |
叁、函数极限的概念与性质
（太多了，我都不敢想象我还要写多久……【碎碎念】）
一、邻域
emmm顾名思义周围的区域嘛，所以显然它是一个区间，表达的意思就是某点的附近。
记作，
是邻域中心，
是邻域半径。
二、函数极限的定义
1.概念
当
时，有
极限是一种趋向，并不代表相等，比如在时常说的
，意思是在
时，
与
趋向0的速度是一样，并不意味着它俩相等，这也是加减法不能用等价无穷小替换的原因，至于乘除，其实深究起来也不是“替换”，举个例子：
并不是我们以为的“替换”，而是乘上了一个极限而已，只不过因为能约去，所以给了我们直接替换的错觉。
2.例题
例3.2.1：已知存在，且函数
，求
思路：
没啥思路，很明显同除
解：
设
（常数极限还是它本身）
三、函数极限的性质
1.唯一性
（1）概念
极限存在必唯一。
这里很有必要提一提张老师的小故事哈哈哈：
一个男生追求一个女生，女生问男生，当时
的极限是多少？男生一看，当
时，
；
时，
。所以男生很自信地说，
或
。然后女生就拒绝了他，因为这个男生不专一。
纯属一乐，我感觉这故事挺适合辅助记忆的哈哈哈。
这个结论主要有以下几个要注意的：
①
②
③，意味着
和
；
，意味着
和
（就是要注意都得考虑两个方向）
这里常考的就是（前面小故事里说过），
（其实绝对值都挺需要注意的），
（也是正负无穷不相等），
（毕竟取整函数它图像就是一段一段的），以及分段函数（在分段点侧要分两个函数讨论）。
（2）例题
例3.3.1.1：当时，函数
的极限？
思路：
和正常极限计算一样，肯定是把能提的常数先都提出去（为啥这样做，后面极限计算再说）。后面再照样做喽
解：
左右极限不相等，当
时，函数
的极限不存在
（这里有一点要提一句，书上给的题目是选择题，正确的选项是“不存在且不为
”。为啥要提一嘴
2.局部有界性
（1）概念
如果，则存在正整数M和δ，使得当
时，有
。
几个重点：
①时，推不出局部有界
因为就像前面说的，无穷是特殊的不存在
②极限存在是有界的充分条件不是必要条件
如有界，但
不存在
③在
上连续，则
在
上必有界
④在
内连续，且x趋于
和x趋于
的极限都存在，则
在
内必有界
⑤有界函数和有界函数的和差积仍有界
商不一定，比如就是无界的
（2）例题
例3.3.2.1：在下列区间内，函数有界的是
思路：
如果考研这类题只考选择题，其实直接面向选项做题就好，算都不用算啊啊，可惜……
不过它要考肯定是考开区间，所以可以根据上面第④点，开区间有界他得两端极限存在，极限可能不存在的点也就那俩，1和3嘛，谁让它俩在分母。然后看选项，没这两点的也就B嘛，所以选B喽。也因此，1和3肯定是趋于无穷的，不然选项就有多个了。
当然可能有人会说不还有一个连续的要求嘛？别忘了这是初等函数，在定义域上可是处处连续的
但是考研不可能只考选择题，所以还是按部就班地算一算两端极限吧。
解：
所以ACD皆无界，答案选B
3.局部保号性
| 严格不等 | 非严格不等 |
（上面是简写）
四、无穷小的定义
，则称
为当
时的无穷小。
①0是唯一一个常数无穷小
很明显，因为（
可以任取），所以0是无穷小，又因为0是常数，所以是常数无穷小
②0是最高阶的无穷小
③有非0的无穷小都是0加上一个无穷小
在叁、三、1.提到过
所以，，即所有非0的无穷小都是0加上一个无穷小。
五、无穷小的性质
①有限个无穷小的和是无穷小
这个可以考虑放缩，都放成里面最低阶的无穷小，也就可以看作常数乘无穷小，常数乘无穷小还是无穷小。至于为什么只能是有限个，因为根据上述思路，无穷个就变成了，这是后面会提到的未定式之一。
②有限个无穷小的乘积是无穷小
同样考虑放缩，就变成了无穷小的常数次方，很显然也是无穷小。至于无穷个无穷小，老实说我没弄懂，照我用的这个放缩法算应该是，又不属于未定式之一，常举的那个例子好像是有反对意见的（见链接：无穷个无穷之积是无穷小吗——兼谈一种特殊无限个无穷小的积.pdf - 豆丁网。感兴趣的朋友可以看看）呃呃外行表示不清楚，但是作为应试，咱就当记个特例吧。
③有界函数和无穷小的乘积是无穷小
还是放缩，嘿嘿~有界那就放大到“界”，“界”自然是常数，常数乘无穷小还是无穷小。
六、无穷小的比阶
| 表达式 | 表达式值 | |
| 0 | 高阶无穷小 | |
| 低阶无穷小 | ||
| 同阶无穷小 | ||
| 1 | 等价无穷小 | |
| k阶无穷小 |
这里要注意，并不是所有的无穷小都可以比阶，比如和
相比，
。这是在说函数有界性举过的例子，该极限不存在，也就说这两个无法比阶。
七、常用的等价无穷小
当：
八、无穷大的定义
，则称
为当
时的无穷小。
若为无穷小，
为无穷大。反之为无穷小。
肆、计算
一、方法
0.直接代入
虽然老师没写，但这个应该也算方法……吧（所以我给它标了个“0”）
除了分段函数（因为可能不连续），初等函数能把求的那点代入的都可以直接代入算极限。
如，首先它显然是初等函数，然后在2上有定义，所以
嗯，挺好一方法，唯一缺点就是不考
1.极限的四则运算规则
（1）概念
若，
，那么：
①
关于加减能不能“拆”，最好的办法就是先拆了试试看。
比如
，将其按照加减法拆开，就是
，两个极限都是常数，所以可以拆，
又比如
，将其按照加减法拆开，就是
，两个极限都是无穷，可以简便看作“
”，所以不能拆。
万一拆出来一个是常数一个是不存在呢？那就是该极限不存在了。
总之，拆出都是常数，常数代入算；拆出都不存在，极限可能存在，改用其它方法；拆出一个常数一个不存在，极限不存在。所以，看到存在就拆出！
（这里还有一点要注意：极限无穷小，也就是0，是存在的；极限是无穷大，也就是
②
③
这俩其实和加法一样，遇见可以拆的就拆出来。至于为什么把这俩放一起，因为除法其实也能算是乘法，除上一个数也就是乘上一个数的倒数嘛。
比如
但是不同于加减，乘法要注意0也不能往外提。比如
，这是一个很简单的“0乘有界”问题，但如果提出去，就变成了
，由于
不存在，所以这个式子是这是无法算的
除此之外还有一个关于除法的重要结论：
若
，且
，则
若
，且
，则
（2）例题
例4.1.1.1：设，求b
分析：
用前面提到的结论做就好（说真的，要不是刚讲完结论就看例题，单给我这题我压根想不到用这个结论），但这种题挺喜欢考的，已知极限反求参数
解：
2.洛必达法则
（1）概念
要点：
①适用型，
型和
型
②对于，右若存在则左存在，左存在右不一定存在
比如，直接算等于
，使用洛必达等于
极限不存在。存在的极限用洛必达可能得出极限不存在
③时，
④时，
（2）例题
例4.2.2.1：证明当时，
和
思路：
等价就是相比极限为1，将它俩相除会发现上下极限都为0，所以可以用洛必达法则。
解：
（上面部分是反双曲正弦函数求导）
所以当
时，
所以当
这里还有个重要结论：
，
，而且由于双曲正弦和反双曲正弦是反函数关系，所以
3.泰勒公式
具体内容可以去看看我的另一篇文章：【数学】泰勒公式-优快云博客。写的超详细（夹带私货ing），这里就列一列要背的公式：
这里还要补充一个方法：
比如，算它的泰勒展开式，要套展开式公式吗？不需要。
将其看作等比数列求和，等比数列求和公式，当
，减号为0，也就说无穷项等比数列的和可看作
。所以上面要算的可以直接看作1减公比分之首项，即
（很妙是不是？小菜鸡表示第一次看到整个人惊呆了！数学家的脑子咋长的，这么厉害）
4.无穷小的运算
设m，n为正整数，则：
①（加减法时低阶吸收高阶）
如，
②（乘法时阶数累加）
③且为常数（非0常数相乘不影响阶数）
5.泰勒公式应用时的展开原则
①上下同阶
比如，下面最高为2次，应把上面展开到二次原式=
②幂次最低
即展开到系数不相等的最低幂次项
6.两个重要极限
①
②
 | |
 |
7.夹逼准则
，则
二、七种未定式的计算
未定式：
1.
例4.2.1.1：求
思路：
由于
是一个特殊极限，所以其实我第一个想法是拆分来着，拆拆拆，好吧，两部分都不存在，换方法。
上半部分e-e是0，下半部分也是0，典型的
型。泰勒，洛必达？先别急，幂指函数还是先换成指数函数
，前面有e后面又是-e，提个e出来做成e的什么-1还是很容易想的，后面就简单了。
解：
（当
）
（泰勒公式替换）
例4.2.1.2：求极限，其中
，
为常数。
思路：
比起这题本身，更重要的是叫“抓大头”的方法。
“抓大头”是很常用的
的方法。
以这题为例，分三种情况讨论：
，
和
。对于这三种情况上下同时除以x的最大次方，如
，然后就会发现上下都至多只有一个常数，其余皆是无穷小。
这是
的情况。但假如
那更容易了。次方越大越趋于0，所以只用找最低次项就可以啦。也就说“抓大头”并不是指次项“大”，而是数“大”。
解：
若
若
同理，若
（这题真没讲好，但我能力有限，实在不知道咋写了）
例4.2.1.3：设函数，则
思路：
这也是一道“抓大头”的题，但是这里有坑。
首先是它进行了自变量的一个变动，这里是n趋于无穷而不是x趋于无穷。没关系，将x的那一坨看作“需要分类讨论”的常数就好啦（引号部分重点）
其次是“抓大头”的一个习惯，根据前面，我们可以把这个式子抽象成
（abc代表啥不用说了吧），然后一看，嗯抓大头，所以
。这显然是错误的，因为前面强调过，abc这种“常数”并不是真的常数，还需要分类讨论，万一它是0呢？0的话显然不能这样“抓大头”。
解：
设
，
当
（整数）
此时
，则
当
，则x不为整数，此时
，
（“抓大头”）
综上，
例4.2.1.4：已知极限，则
思路：
已知一个极限求另一个极限的题也挺常见的
这题有两种方法
先说泰勒展开法（因为我感觉这个最容易想）：
还是看着这两个式子辣么像，对比一下，要是能把
换成
那简直完美，所以就代入泰勒展开式，再根据四则运算法则，OK。
再是脱帽法：
脱帽法应该算是比较无脑的方法了，但是它好用诶。比如一坨东西极限是A，那去了极限就直接设
，然后代入解方程（？）就可以了。像不像小学数学题哈哈哈（我咋那么开心）
解：
方法一，泰勒展开
（没想到吧，最后一步计算又是“抓大头”）
方法二，脱帽法
例4.2.1.5：求
思路：
很典型的
型，一般喜欢把其中一个往下除，作出
对于这题，有两个重点：
①
很常用的加快解题速度的公式。
②
，即幂函数比对数函数快（无论是趋于0的速度还是趋于无穷的速度）
解：
令
原式
例4.2.1.6：求
思路：
这题的解法和前面看过的不太一样，因为这不是一个初等函数，可以考虑夹逼。取整函数的放缩可以见贰、二：
（这题其实挺简单的，但我想着前面也没夹逼的题，嗯嗯）
解：
（分大于0和小于0讨论很简单，但是很容易忽略，要注意……别问我怎么知道很容易忽略）
两边都趋于10,
2.
例4.2.2.1：求极限
思路：
解：
原式=
（等价替换加泰勒公式）
例4.2.2.2：求极限
思路：
emmm其实这题不太容易看得出是
速度是没有
快的，所以
这部分趋于无穷。
解：
原式=
（
令
（下面是分数，洛必达求导太困难，令为t减少计算量）
原式=
3.
这两种都是幂指函数，所以要用到前面讲过的变换(见贰、一、6.）
例4.2.3.1：求极限
思路：
先做幂指函数变换，剩下就可以把指数部分单独拎出来啦
解：
原式=
（幂指函数变换）
（使用洛必达，ln部分为反双曲正弦函数求导）
原式=
4.
首先作为一个幂指函数，用进行变换是毋庸置疑的，而变换后的
又是趋近于1，联想到例4.2.1.5提到的
，这个式子还可以做进一步变换
例4.2.4.1：求极限
思路：
前面说那么清楚了，也不需要什么别的思路了吧
解：
原式=
……1
（这一步还是很难想的，全题第二个难点。这样拆主要是为了把常数
提出去，然后剩下的可以用四则运算的加减法计算）
1式=
（根据等价替换
）
5.泰勒公式
（妈耶，怎么还有这么多，什么时候是个头，已经一万多字了，要是吧公式加进去得近两万了）
例4.2.5.1：在
处的3次泰勒多项式为
，求a、b、c
思路：
将分式看成两部分相乘，根据背的泰勒公式，以及肆、一、3.补充的方法，直接两部分相乘。至于每部分展到多少项则根据要求的次数来，比如本题要求3次，则每部分展开到三次（没有则展开到二次，再没有则展开到一次，以此类推）
解：
（每部分小于等于三次的最高项为二次，所以每部分展开到二次。然后每项依次相乘，保留小于等于三次的项）
伍、函数的连续与间断
一、连续点的定义
1.概念
| 状态 | 图例 | 左右极限关系 | |||
| 连续 |  | 存在 | 存在 | 相等 | 等于左右极限 |
上面是关于连续判断最常用的方法，另外一种是：
。即，连续点与它周围的点是无限靠近的。
下面是一些重点：
①连续性的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性
（太简单了，就不细写了）
②连续定义
有时可以根据题目所给“连续”条件用连续定义求出该点函数值
③局部保号性
在点
处连续，且
，则在邻域内函数大于0（小于同样成立）
④在
处连续不能推出在
的领域内连续
一个常用的例子是（不赘述）。通俗一点的理解就是在
处连续即
的左右两点和
无限靠近，但是以
右边的点为例，该点与它右边的点并不一定无线靠近，所以
处连续不代表
右边一点点的地方连续，推而广之就是不能推出在
的领域内连续。
2.例题
例5.1.1：已知，在x=0处连续，求a
思路：
根据连续定义，左右极限相等且等于该点函数值
解：
二、间断点的定义与分类
1.概念
| 分类 | 间断点 | 图例 | 左右极限关系 | |||
| 第一类间断点 | 可去 |  | 存在 | 存在 | 相等 | 不等于左右极限/不存在 |
| 跳跃 |  | 存在 | 存在 | 不相等 | 皆可 | |
| 第二类间断点 | 无穷 |  | 存在/趋于无穷 | 存在/趋于无穷 | 至少一个趋于无穷 | 皆可 |
| 震荡 |  | 存在/震荡 | 存在/震荡 | 至少一个震荡 | 皆可 |
从上表不难看出，间断点讨论的重点是左右极限
2.例题
例5.2.1：函数的第二类间断点个数为
思路：
该函数作为一个初等函数，根据“初等函数在定义域上处处连续”，间断点只能出现在无定义点上。
所以首先是找无定义点，然后再求出无定义点的左右极限，根据间断点特点进行匹配。
解：
无定义点：
所以有三个
结尾
这字码的我身心俱疲……结尾就不写了吧，太多了也总结不过来……
不过话说大家有什么好的画函数图像的软件推荐嘛？我直接找的在线的，感觉不是很好用诶
若有错误欢迎大家批评斧正
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