CINTA 作业十二

如果任取环R中的元素x都满足$x^2$=$x$，请证明环R是交换环。

由题意可得，$(ab{)}^2$=ab,$a^2$=a,$b^2$=b,$(ab{)}^2$=$a^2{b}^2$,abab=aabb,故ba=ab。
若R为整环，ab=ba=0，满足交换律。
若R不为整环，ab=0且a和b均不等于0，$(ba{)}^2$=ba=baba=0，依旧满足交换律。

记$\mathbb{Z}$$[\surd 2]$={a+b√2:a,b∈$\mathbb{Z}$},请证明$\mathbb{Z}$$[\surd 2]$是环，且是整环。

$\mathbb{Z}[\surd 2]$为非空子集，对加法：
满足封闭性，含有单位元0，对∀a，b∈$\mathbb{Z}$，有a+b√2+c+d√2=0，c=$-$a，d=$-$b，有逆元。对加法满足交换律，故为阿尔贝群。
对乘法：
对∀a，b，c，d，e，f∈$\mathbb{Z}$，有（a+b√2+c+d√2)+e+f√2 =a+b√2+(c+d√2+e+f√2)，故满足结合律。
证明乘法在加法上满足分配律，即a(b+c)=ab+ac
对∀a，b，c，d，e，f∈$\mathbb{Z}$，有(a+b√2)*(c+d√2+e+f√2) =ac+ad√2+ae+af√2+bc√2+2bd+be√2+2bf=(a+b√2)*(c+d√2)+(a+b√2)*(d√2+e+f√2) ，满足左分配律，右分配律同理可得。
对∀a，b，c，d∈$\mathbb{Z}$，有（a+b√2)*(c+d√2)=0，（a+b√2)*(c+d√2)=ac+ad√2+bc√2+2bd=ac+2bd+(ad+bc)√2=0,则ad+bc=0且ac+2bd=0，若a，b，c，d≠0，得$c^2$=$2d^2$,因为c，d∈$\mathbb{Z}$，故$c^2$≠$2d^2$，得证$\mathbb{Z}[\surd 2]$为整环。

记$\mathbb{Z}$$[i]$={a+$bi$:a,b∈$\mathbb{Z}$},请证明$\mathbb{Z}$$[i]$是整环。

证明$\mathbb{Z}$$[i]$为环的部分和上一题差不多，接下来证明$\mathbb{Z}$$[i]$是整环:
对∀a，b，c，d∈$\mathbb{Z}$，有（a+bi)*(c+di)=0，（a+bi)*(c+di)=ac+adi+bci-bd=0,则ad+bc=0且ac=bd，得到$d^2$+$c^2$=0,故证明了$\mathbb{Z}$$[i]$是整环。

如果$I$和$J$都是交换环$R$的理想，则 $I$+$J$={ $i$+$j$ , $i\in I$,$j\in J$}也是$R$的理想。

由题意可得，对∀r∈R，有rI⊂I，rJ⊂J，Ir⊂I，Jr⊂J，那么现在对∀r∈R，$i\in I$,$j\in J$，有ri+rj，其中ri⊂I，rj⊂J，则ri+rj⊂$I$+$J$，同理可证ir+jr⊂$I$+$J$。

证明命题12.4

因为映射$\varphi$为环同态，故有$\varphi (ab)$=$\varphi (a)$$\varphi (b)$=$\varphi (ba)$=$\varphi (b)$$\varphi (a)$，故R为交换环时，$\varphi (R)$也是交换环。
因为$\varphi (a+0)$=$\varphi (a)$+$\varphi (0)$=$\varphi (a)$+$0^{\prime }$，故$\varphi (0)$=$0^{\prime }$。
因为$\varphi$为满射，故$R^{\prime }$上任意的$x^{\prime }$，均有$\varphi (x)$=$x^{\prime }$，$\varphi (x)$=$\varphi (1\ast x)$=$\varphi (1)$$\varphi (x)$=$\varphi (x)$$\varphi (1)$，故$\varphi (1)$为$R^{\prime }$的单位元，得证$\varphi (1)$=$1^{\prime }$。