证明阿贝尔群子群性质与循环群特征：子群构造与阶的关系-优快云博客

本文详细证明了子群的性质，如若子群HHH包含b的逆元，则ab-1也在子群内。此外，通过Gm的构造和性质，展示了阿贝尔群的子群Gm是G的子群，并推导出循环群中元素阶与群阶的关系。关键概念包括子群、逆元和循环群的阶

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命题6.8的证明
证明充分性：若非空子集 $H$ 为 $G$ 的子群，则 $b^{-1}∈H$ ，则 $ab^{-1}∈H$ 。

必要性：因为 $H \neq = 0$ ，令 $b = a$ ，则 $aa^{-1}∈H$ ，即 $e \in H$ 。任取 $a \in H$ ，因为 $e \in H$ ，所以 $ea^{-1}∈H$ ，故 $a^{-1}∈H$ 。因为 $ab^{-1}∈H$ ，故 $b^{-1}∈H$ ，故 $a(b^{-1})^{-1}∈H$ ，即 $a b \in H$ 。证得 $H$ 为群，因为 $H$ 为 $G$ 的子集，故 $H$ 为 $G$ 的子群。

设G是阿贝尔群，m是任意整数，记G^m={g^m:g\in G}。请证明G^m是G的一个子群。
因为g∈G，所以g^m∈G，故G^m为G的子集。
假定a=g^m1∈G^m，b=g^m2∈G^m，其中m1，m2为任意整数，又因为ab=g^m1+m2∈G^m，故满足封闭性。
因为g^-1∈G，那么易得g^-m∈G^m，g^mg^-m=e，故存在逆元。
G^m存在单位元，结合上述证明，G^m是G的一个子群。

证明：如果群G没有非平凡子群，则群G是循环群。
从群 $G$ 中任意选取 $a$ 构建一个循环子群 $H$ ，
$H =$ { ${e,a,a^2,....,a^k}$ }，因为群 $G$ 没有非平凡子群，故子群只有{ $e$ }和 $G$ ，当 $a = e$ 时， $H =$ { $e$ }，而当 $a \neq = e$ 时， $H = G$ ，因为 $H$ 为循环群，故 $G$ 必为循环群。

证明循环群G中任意元素的阶都整除群G的阶。
由命题 $7.5$ 可知，可被 $n / d$ 整除的最小整数为 m，而 m 又是子群 h 的阶，而子群 h 又具有任意性，故而得子群的阶必然能够整除群的阶。让元素自乘形成循环子群，元素的阶就是相应循环子群的阶，因为循环子群就是子群，故而循环子群的阶必然能够整除群的阶。