CINTA 作业三

本文介绍了如何使用欧几里得算法计算乘法逆元和模指数运算,通过费尔马小定理计算3的2019次方对23取模的结果,以及应用欧拉定理计算2的100000次方对55取模。同时探讨了7的1000次方末尾两位数的规律,展示了数学与编程在求解复杂数学问题中的应用。

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CINTA 作业三

实现乘法逆元

LL egcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL ret=egcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret;
}
LL getInv(int a,int mod)
{
    LL x,y;
    LL d=egcd(a,mod,x,y);
    return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}

模指数运算

def rec_mod_exp(x, y, p):
    if(y==0):
        return 1 
    z = rec_mod_exp(x, y//2, p)
    if(y&1==0): 
       return z*z %p 
    else: 
       return x*z*z %p

3、设p = 23和a = 3,使用费尔马小定理计算a2019modp?a^{2019} modp?a2019modp?

计算32019mod233^{2019} mod 2332019mod23使用费马小定理ap−1≡1modpa^{p-1}≡ 1 modpap11modp可得a22≡1mod23a^{22} ≡ 1 mod 23a221mod23,因为2019=17+91∗222019=17+91*222019=17+9122,所以32019mod233^{2019} mod 2332019mod23 =317+91∗22mod23=3^{17+91*22} mod 23=317+9122mod23
所以317+91∗22mod233^{17+91*22} mod 23317+9122mod23 =317mod23=3^{17} mod 23=317mod23 =16=16=16

4、使用欧拉定理计算21000002^{100000}2100000 mod 55

因为55等于5* 11,而5和11都为素数,故ϕ\phiϕ(55)=(5-1)*(11-1)=40,因为gcd(2,55)=1,又因为2100000=22500∗402^{100000}=2^{2500*40}2100000=2250040,所以2100000≡1mod55=12^{100000}≡1 mod 55 =121000001mod55=1

5、手动计算710007^{1000}71000的最后两个数位等于什么?

通过运算7的前几次次方,发现其实后两数位是按循环出现的,并且是以四个次方为一个循环,故710007^{1000}71000的最后两个数位为 010101

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