CINTA 作业七

本文通过严谨的数学证明,展示了循环群、交换群等概念下群同态的保持性质,并进一步探讨了正规子群和商群的特性。通过具体的推导过程,验证了在不同条件下群的结构性质。

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4.如果G为循环群,则有gk1g^{k1}gk1gk2g^{k2}gk2gk3g^{k3}gk3∈G,且gk3g^{k3}gk3=gk1g^{k1}gk1*gk2g^{k2}gk2,因为G−>->>H为群同构,故 ϕ(gk3)ϕ(g^{k3})ϕ(gk3) = ϕ(gk1)ϕ(g^{k1})ϕ(gk1)ϕ(gk2)ϕ(g^{k2})ϕ(gk2) = ϕ(gk1⋅gk2)ϕ(g^{k1}·g^{k2})ϕ(gk1gk2),得证ϕ(G)ϕ(G)ϕ(G)也为循环群。
如果G为交换群,则有 ∀a,b∈G∀a,b∈Ga,bGab=baab=baab=ba,故有ϕ(ab)ϕ(ab)ϕ(ab)=ϕ(ba)ϕ(ba)ϕ(ba),所以ϕ(ab)ϕ(ab)ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(a)ϕ(a)ϕ(b)ϕ(b)ϕ(b)=ϕ(b)ϕ(b)ϕ(b)ϕ(a)ϕ(a)ϕ(a)=ϕ(ba)ϕ(ba)ϕ(ba),得证ϕ(G)ϕ(G)ϕ(G)也为交换群。

5.由题意可得群G有两个不同的陪集,对 ∀g∈G∀g∈GgG:当ggg落在HHH上,则显然gH=Hg=HgH=Hg=HgH=Hg=H;当ggg不落在H上时,根据同一或不相交性,gH=Hg=G−HgH=Hg=G-HgH=Hg=GH,故对 ∀g∈G∀g∈GgG,均有gH=HggH=HggH=Hg,故得证HHHGGG的正规子群。

6.对 ∀aH∀aHaHbH∈G/HbH∈G/HbHG/H,存在H1,H2H_1,H_2H1,H2使得aH1aH_1aH1bH2bH_2bH2落在aaabbb上,其中aaab∈Gb∈GbG,又因为GGG为阿尔贝群,则有ab=baab=baab=ba,故aH1bH2=bH2aH1aH_1bH_2=bH_2aH_1aH1bH2=bH2aH1aH1bH2HH=bH2aH1HHaH_1bH_2HH=bH_2aH_1HHaH1bH2HH=bH2aH1HH,得aHbH=bHaHaHbH=bHaHaHbH=bHaH,故得证G/H也为阿尔贝群。

7.因为G是循环群,故有 ∀gk1,gk2∈G∀g^{k1},g^{k2}∈Ggk1gk2G,使得gk3=gk1∗gk2g^{k3} = g^{k1} * g^{k2}gk3=gk1gk2,对于商群G/HG/HG/H(gk1H)(gk2H)=gk3H(g^{k1}H)(g^{k2}H) = g^{k3}H(gk1H)(gk2H)=gk3H,得证G/HG/HG/H也为循环群。

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