CINTA 作业七

最新推荐文章于 2022-01-07 04:29:24 发布

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/HHHHUIIII/article/details/109460253

本文通过严谨的数学证明，展示了循环群、交换群等概念下群同态的保持性质，并进一步探讨了正规子群和商群的特性。通过具体的推导过程，验证了在不同条件下群的结构性质。

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4.如果G为循环群，则有 $g^{k1}$ ， $g^{k2}$ ， $g^{k3}$ ∈G，且 $g^{k3}$ = $g^{k1}$ * $g^{k2}$ ，因为G $- >$ H为群同构，故 $ϕ(g^{k3})$ = $ϕ(g^{k1})$ ◦ $ϕ(g^{k2})$ = $ϕ(g^{k1}·g^{k2})$ ，得证 $ϕ (G)$ 也为循环群。
如果G为交换群，则有 $\forall a, b \in G$ ， $a b = b a$ ，故有 $ϕ (a b)$ = $ϕ (b a)$ ，所以 $ϕ (a b)$ = $ϕ (a)$ ◦ $ϕ (b)$ = $ϕ (b)$ ◦ $ϕ (a)$ = $ϕ (b a)$ ，得证 $ϕ (G)$ 也为交换群。

5.由题意可得群G有两个不同的陪集，对 $\forall g \in G$ ：当 $g$ 落在 $H$ 上，则显然 $g H = H g = H$ ；当 $g$ 不落在H上时，根据同一或不相交性， $g H = H g = G - H$ ，故对 $\forall g \in G$ ，均有 $g H = H g$ ，故得证 $H$ 是 $G$ 的正规子群。

6.对 $\forall a H$ ， $b H \in G / H$ ，存在 $H_1,H_2$ 使得 $aH_1$ ， $bH_2$ 落在 $a$ ， $b$ 上，其中 $a$ ， $b \in G$ ，又因为 $G$ 为阿尔贝群，则有 $a b = b a$ ，故 $aH_1bH_2=bH_2aH_1$ ， $aH_1bH_2HH=bH_2aH_1HH$ ，得 $a H b H = b H a H$ ，故得证G/H也为阿尔贝群。