1.由命题 8.18.18.1 陪集属性可知，任取 g1,g2∈Gg1,g2∈Gg1,g2∈G，则 g1H=g2Hg1H=g2Hg1H=g2H 当且仅当 g2∈g1Hg2∈g1Hg2∈g1H。而 g2∈g1Hg2∈g1Hg2∈g1H 等价于 g1−1g2∈g1−1g1Hg_1^{-1}g2∈g_1^{-1}g1Hg1−1g2∈g1−1g1H 也就是 g1−1g2∈Hg_1^{-1}g2∈Hg1−1g2∈H，故得证。
2.
分两种情况：
①①①g落在H上，则gH=Hg=H。
②②②g未落在H上，但落在G上，因为左陪集有两个，而左陪集将群G划分，故gH=Hg=G−HgH=Hg=G-HgH=Hg=G−H。
3.
由题意可得群H为群G的真子集，且存在g∈Gg∈Gg∈G，但g∈Hg∈Hg∈H，故必有左陪集g使得gH=HgH=HgH=H成立，根据左陪集的同一或不相交性，也必有左陪集使得gH≠HgH≠HgH=H，故左陪集>=2>=2>=2，因此证明∣H∣|H|∣H∣ <= ∣G∣/2|G|/2∣G∣/2
5.
费尔马小定理：假设有一个在模p乘法下成群的群G，其中p为素数。有a∈Ga∈Ga∈G，而a构成一循环群H，因为H为群G的子群，群G的阶为p−1p-1p−1，故有ap−1≡1(moda^{p-1}≡ 1 (modap−1≡1(mod p)p)p)
欧拉定理：令G为由a1a_1a1到ana_nan构成的群，有gcd(a)gcd(a)gcd(a)整除于ϕ(n)ϕ(n)ϕ(n)，所以aϕ(n)≡1(moda^{ϕ(n)}≡1 (modaϕ(n)≡1(mod n)n)n)
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