迭代与递归实现GCD算法-优快云博客

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本文介绍了通过迭代方式实现的GCD算法，包括基于辗转相除法的经典GCD算法及二进制GCD算法，并给出了递归实现的扩展GCD算法。此外，还详细证明了Bézout定理。

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CINTA 作业二

迭代实现 gcd 算法

int GCD(int a,int b)
{
    while(a%b)
    {
        int n;
        if(a%b!=0)
        {
            n=a%b;
            a=b;
            b=n;
        }
        else
         return b;
    }
    return b;
}

迭代实现bgcd算法

int BGCD(int a,int b)
{
    int k=0;
    while(((a|b)&1)==0)
    {
        a=a>>1;
        b=b>>1;
        k+=1;
    }
    while((a&1)==0)
    {
        a=a>>1;
    }
    while(b!=0)
    {
        while((b&1)==0)
        {
            b=b>>1;
        }
        if(a>b)
        {
            int n;
            n=a;
            a=b;
            b=n;
        }
        b=b-a;
    }
    return (a<<k);
}

递归实现egcd算法

def egcd(a,b):      
    if b==0:          
        return 1,0      
    else:          
        x,y=egcd(b,a%b)          
    return y,x-a/b*y

2.2 Bézout定理的证明

假设 $g c d (a, b)$ 为一个集合，由良序定理可知，存在最小的元素n，对于集合中任意其它元素n1，使得 $n 1 = n * x + y$ ，此时 $y < n$ ，与良序定理相矛盾，故 $y = 0$ ，集合中任意元素都可以整除 $n$ ，所以 $n$ 是 $a ， b$ 的公因子。假设a与b的任意一个公因数为 $c$ ，则有 $a = c k 1 ， b = c k 2 ， n = c k 1 r 1 + c k 2 r 2 ，$ 证明n可以整除 $a$ 和 $b$ 的任意一个公因数，因此 $n$ 为最大公因子。