差分方程【引子】

一、概念引入

\quad 在对特定对象的某变量 $y$ 进行动态分析时，常取规定的时间区间上的差商 $\frac{\Delta y}{\Delta t}$ 来刻画该变量的变化速度。
\quad 若选择 $\Delta t=1$ ，那么$\Delta y=y(t+1)-y(t)$ 可以近似代表变量 $y$ 的变化速度。

二、差分介绍

一阶差分

\quad 设函数$y=f(t)$ ，记为$y_t$ ，当$t$取遍非负整数时，函数值可以构成一队数列：
$$y_0,y_1,y_2,\cdots ,y_t,\cdots$$

则差 $y_{t+1}-y_t$ 称为函数 $y_t$的差分，也称一阶差分。记为$\Delta y_t$，即
$$\Delta y_t=y_{t+1}-y_t$$

二阶差分

$$\begin{array}{rl}\Delta (\Delta y_t)& =\Delta y_{t+1}-\Delta y_t\\ & =(y_{t+2}-y_{t+1})-(y_{t+1}-y_t)\\ & =y_{t+2}-2y_{t+1}-y_t\end{array}$$

记为${\Delta }^2{y}_t$，即
$${\Delta }^2{y}_t=\Delta (\Delta y_t)=y_{t+2}-2y_{t+1}-y_t$$

称为函数$y_t$的二阶差分。

三、高阶差分及通项公式

• 二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。
• $k阶差分$
  一般地，$k$阶差分 $(k\in {\mathbb{N}}^{+})$ 定义为：
  $\begin{array}{rl}{\Delta }^k{y}_t& ={\Delta }^{k-1}(\Delta y_t)\\ & ={\Delta }^{k-1}{y}_{t+1}-{\Delta }^{k-1}{y}_t\\ & ={\Delta }^{k-2}{y}_{t+2}-2{\Delta }^{k-2}{y}_{t+1}+{\Delta }^{k-2}{y}_t\\ & =\sum _{i=0}^k(-1{)}^i{C}_k^i{y}_{t+k-i},k=1,2,\cdots \end{array}$

四、差分性质——线性

• $\Delta (c{y}_x)=c\Delta y_x(c为常数)$
• $\Delta (x_t+y_t)=\Delta x_t+\Delta y_t$

五、差分方程

定义

• $(1)$ 含有 自变量 $t$ 和 两个或两个以上的 $y_t,y_{t+1},\cdots$ 的函数方程，统称为差分方程；
• $(2)$ 含有 自变量 $t$ 、未知函数 $y_t$ 及 $y_t$的差分$\Delta y_t,{\Delta }^2{y}_t,\cdots$ 的函数方程，称为差分方程。

\quad 差分方程的本质，就是递推关系式。差分方程的不同形式之间可以相互转化，但是，差分方程的这两个定义不是等价的。例如，方程 ${\Delta }^2{y}_t+\Delta y_t=0$ 满足定义$(2)$，而不满足定义$(1)$。

阶数

\quad 方程中未知函数下标的最大值与最小值的差，称为差分方程的阶。例如，方程 $y_{t+k}+\cdots +y_{t+1}+y_t=0$ 的阶数为 $(t+k)-t=k$。

$n$阶差分方程的一般形式

• $(1)F(t,y_t,y_{t+1},\cdots ,y_{t+n})=0$
  其中，$F(t,y_t,y_{t+1},\cdots ,y_{t+n})$ 是 $t,y_t,\cdots ,y_{t+n}$ 的已知函数；
• $(2)F(t,y_t,\Delta y_t,\cdots ,{\Delta }^n{y}_t)=0$
  其中，$F(t,y_t,\Delta y_t,\cdots ,{\Delta }^n{y}_t)$ 是 $t,y_t,\Delta y_t,\cdots ,{\Delta }^n{y}_t$ 的已知函数，且${\Delta }^n{y}_t$在方程中的系数不为0。