同余及其性质（Congruence）

同余（Congruence Modulo）是数论中的一种等价关系。给定一个正整数$m$ ，如果用$m$去除任意两个正整数$a$与$b$所得到的余数相同，我们就称$a,b$对模$m$同余，记为$a\equiv b\text{ (mod }m)$，否则称$a,b$对模$m$不同余，记为$a\not\equiv b\text{ (mod }m)$，其中$m$称作模。

• 性质1（反身性）：$a\equiv b\text{ (mod }m)$
• 性质2（对称性）：若$a\equiv b\text{ (mod }m)$，那么$b\equiv a\text{ (mod }m)$
• 性质3（传递性）：若$a\equiv b\text{ (mod }m)$，那么$b\equiv c\text{ (mod }m)\to a\equiv c\text{ (mod }m)$
• 性质4（可加减性）：若$a\equiv b\text{ (mod }m)$，$c\equiv d\text{ (mod }m)$，那么$a\pm c\equiv b\pm d\text{ (mod }m)$

证明：设$a=V_{ab}+K_a\ast m,b=V_{ab}+K_b\ast m,c=V_{cd}+K_c\ast m,d=V_{cd}+K_d\ast m$，则$(a\pm c)\%m=(A\pm C)$，$(b\pm d)\%m=(A\pm C)$，即$a\pm c\equiv b\pm d\text{ (mod }m)$

• 性质5（可乘性）：若$a\equiv b\text{ (mod }m)$，$c\equiv d\text{ (mod }m)$，那么$ac\equiv bd\text{ (mod }m)$

证明：设$a=V_{ab}+K_a\ast m,b=V_{ab}+K_b\ast m,c=V_{cd}+K_c\ast m,d=V_{cd}+K_d\ast m$，则$ac=(V_{ab}+K_a\ast m)(V_{cd}+K_c\ast m)$，$ac=(V_{ab}+K_b\ast m)(V_{cd}+K_d\ast m)$，所以$ac\%m=V_{ab}{V}_{cd}\%m$，$bd\%m=V_{ab}{V}_{cd}\%m$，即$ac\equiv bd\text{ (mod }m)$

• 性质6：若$a\equiv b\text{ (mod }m)$，那么$ka\equiv kb\text{ (mod }m)$
• 性质7：若$a\equiv b\text{ (mod }m)$，$gcd(c,m)=1$，那么$\frac{a}{c}\equiv \frac{b}{c}\text{ (mod }m)$
• 性质8：若$a\equiv b\text{ (mod }m)$，则$ka\equiv kb\text{ (mod }km)$
• 性质9：若$a\equiv b\text{ (mod }m)$，$c$为$a,b,m$的公因数，则$\frac{a}{c}\equiv \frac{b}{c}\text{ (mod }\frac{m}{c})$
• 性质10：若$a\equiv b\text{ (mod }{m}_i),i=1,2,\cdots ,k$，则$a\equiv b\text{ (mod lcm(}{m}_1,m_2,\cdots ,m_k))$
• 性质11：若$a\equiv b\text{ (mod }m),c|m,c>0$，则$a\equiv b\text{ (mod }c)$
• 性质12：若$a\equiv b\text{ (mod }m)$，则$\gcd (a,m)=\gcd (g,m)$

参考文献：

1. 同余类
2. 同余及其性质