Luogu_P6374 树上询问

树上询问

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Luogu_P6374 树上询问

题目描述

给定一棵$n$个点的无根树，有$q$次询问。

每次询问给一个参数三元组$(a,b,c)$，求有多少个$i$满足这棵树在以$i$为根的情况下$a$和$b$的$LCA$为$c$。

输入格式

第一行$2$个数，为$n$和$q$。

接下来$n-1$行，每行$2$个数，表示树的一条边。

接下来$q$行，每行$3$个数，为$(a,b,c)$。

输出格式

共$q$行，每行一个数，为对于每个三元组的$i$的个数。

输入输出样例

输入 #1

10 5
1 2
1 3
2 4
2 5
2 10
5 6
3 7
7 8
7 9
4 6 2
4 10 1
6 8 3
9 10 2
4 10 5

输出 #1

7
0
1
4
0

输入 #2

5 3
1 3
1 5
3 4
3 2
5 2 3
5 2 1
2 4 5

输出 #2

2
1
0

输入 #3

20 10
1 2
1 3
1 4
2 5
2 6
3 10
4 13
4 14
6 7
6 8
10 11
4 15
4 16
8 9
11 12
16 17
16 18
16 19
17 20
15 19 16
1 12 1
20 20 20
7 7 8
1 8 3
5 20 2
2 9 6
9 12 1
9 12 2
9 12 3

输出 #3

4
16
20
0
0
5
2
10
2
1

数据范围
本题按子任务测试：
$subtask1(20pts)subtask1(20pts)$：$1\le n\le 1000$ ，$1\le q\le 1\le q\le 500500$ 。
$subtask2(15pts)subtask2(15pts)$：$1\le n\le 10^5$，$1\le q\le 10^5$，树退化成链 。
$subtask3(25pts)subtask3(25pts)$：$1\le n\le 5\times 10^5$，$1\le q\le 10^5$，数据不随机 。
$subtask4(40pts)subtask4(40pts)$：$1\le n\le 5\times 10^5$ ，$1\le q\le 2\times 10^5$。

对于所有数据：$1\le n\le 5\times 10^5$，$1\le q\le 2\times 10^5$。

注：数据强度不高，不必卡常与快读快输。

思路

这是大家讨论出来的思路。

对于树上的任意节点$a$、$b$，连通它们的路径有且仅有一条。由于题目给出的是一棵无根树，所以连通$a$、$b$的路径上的任意一点（包括$a$、$b$）都有可能是$LCA(a,b)$的值。

很显然，节点$LCA(a,b)$拥有的包含$a$、$b$节点的子树上的节点，除了在连通$a$、$b$的路径上的节点以外，都不可能作为根，否则$LCA(a,b)$的值将永远会是$a$或$b$，不会是路径上的其他点。

如图，连通节点$1$、$2$的路径为$1-3-2$，则$LCA(1,2)$的值可能为$1$、$2$、$3$。由图可得，成为根节点后能够使$LCA(1,2)$的值为$1$、$2$、$3$的节点有$1$、$2$、$3$、$4$，并且不可能是$5$，因为如果以$5$为根节点的话，$LCA(1,2)$的值将为$1$，不可能为$2$、$3$。

所以，我们要做的就是对给出的每个询问，判断节点$c$是否在连通节点$a$、$b$的路径上。若不在，则答案为$0$；若在，则答案为除去包含节点$a$和包含节点$b$的节点$c$的子树后剩余节点的数目。

语言表述的方法有了，但怎么用计算机实现呢？

或许，我们可以像语言表述的那样，对于每个输入的$(a,b,c)$，找出连通$a$、$b$的路径，判断$c$是否在这条路径上，再根据判断的结果求出答案。

不过，看看数据规模：$5\times 10^5\times 2\times 10^5=10^{11}$。很显然是不可能的。

这个时候，我们的$LCA$函数就发挥作用了。

首先，我们先任意设置一个节点为根节点，并按照它制作一份$ST$表，同时记录每个节点的深度。

接着，我们对节点$a$、$b$、$c$做$LCA$函数的运算。如果节点$c$在连通$a$、$b$的路径上，那么它们一定满足一个性质，即：$lca(l,lca(a,b))=lca(a,b)$，证明请自己推。

然后，我们需要分三种情况讨论。

1. 第一种，$lca(a,b)=c$，答案等于总的节点数减去包含包含节点$a$、$b$的节点$c$的子树；
2. 第二种，$lca(a,c)=c$，答案等于节点$c$及其子树的节点总数减去包含包含节点$a$的节点$c$的子树（不用做有关节点$b$及其子树的运算是因为节点$c$及其子树的节点总数与节点$b$及其子树的节点总数互不影响）；
3. 第二种，$lca(b,c)=c$，答案等于节点$c$及其子树的节点总数减去包含包含节点$b$的节点$c$的子树；

这样，整个程序就完成了。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=5*100000;
struct str{
	int to,nex;
}e[2*N+1];
int ls[2*N+1],cnt;
int dep[2*N+1],f[2*N+1][21],tot[N+1];
void add(int u,int v)
{
	cnt++;
	e[cnt].to=v;
	e[cnt].nex=ls[u];
	ls[u]=cnt;
}
void bfs(int root)//深度预处理 
{
	int fa,so;
	queue <int> q;
	dep[root]=1;
	q.push(root);
	while(!q.empty())
	{
		fa=q.front();
		q.pop();
		for(int i=ls[fa];i;i=e[i].nex)
		{
			so=e[i].to;
			if(!dep[so])
			{
				f[so][0]=fa;
				dep[so]=dep[fa]+1;
				q.push(so);
			}
		}
	}
}
void ST(int n)//制作树的ST表 
{
	for(int j=1;j<=20;j++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
}
int lca(int x,int y)//计算两个点的LCA值 
{
	if(dep[x]>dep[y])
		swap(x,y);
	int d,k,t;
	d=dep[y]-dep[x];
	k=20;
	t=1<<k;
	while(d)
	{
		if(d>=t)
		{
			y=f[y][k];
			d-=t;
		};
		t/=2;
		k--;
	}
	if(x==y)
		return x;
	k=20;
	while(k>=0)
	{
		if(f[x][k]!=f[y][k])
		{
			x=f[x][k];
			y=f[y][k];
		}
		k--;
	}
	return f[x][0];
}
int dfs(int k)//计算每个节点子树上的总的节点数目（包括这个节点本身） 
{
	int sum=1;
	for(int i=ls[k];i;i=e[i].nex)
		if(f[k][0]!=e[i].to)
		{
			tot[e[i].to]=dfs(e[i].to);
			sum+=tot[e[i].to];
		}
	return sum;
}
int val(int so,int fa)//计算a或b所在的子树的节点数目 
{
	int k;
	if(so==fa)
		return 0;
	k=20;
	while(k>=0)
	{
		if(dep[f[so][k]]>dep[fa]) 
			so=f[so][k];
		k--;
	}
	return tot[so];
}
bool check(int a,int b,int c)//判断c是否在连通a、b的路径上 
{
	int l=lca(a,b);
	return lca(l,c)==l;
}
int main()
{
	int n,q,x,y,v,a,b,c,ans;
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);
		add(y,x);
	}
	bfs(1);
	ST(n);
	tot[1]=dfs(1);
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		ans=0;
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		if(check(a,b,c)&&(lca(a,b)==c))//分类讨论情况1
			ans=n-val(a,c)-val(b,c);
		else if(check(a,b,c)&&(lca(a,c)==c))//分类讨论情况2
			ans=tot[c]-val(a,c);
		else if(check(a,b,c)&&(lca(b,c)==c))//分类讨论情况3
			ans=tot[c]-val(b,c);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}