Luogu_P4140 奇数国

奇数国

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Luogu_P4140 奇数国

题目描述

在一片美丽的大陆上有$100000$个国家，记为$1$到$100000$。这里经济发达，有数不尽的账房，并且每个国家有一个银行。

某大公司的领袖在这$100000$个银行开户时都存了$3$大洋，他惜财如命，因此会不时地派小弟 GFS 清点一些银行的存款或者让GFS改变某个银行的存款。

该村子在财产上的求和运算等同于我们的乘法运算，也就是说领袖开户时的存款总和为$3^{100000}$。这里发行的软妹面额是最小的60个素数$p_1=2,p_2=3,\dots ,p_{60}=281$，任何人的财产都只能由这 6060 个基本面额表示，即设某个人的财产为$fortune$（正整数），则 $fortune=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times \dots p_{60}^{k_{60}}$。

领袖习惯将一段编号连续的银行里的存款拿到一个账房去清点，为了避免 GFS 串通账房叛变，所以他不会每次都选择同一个账房。GFS 跟随领袖多年已经摸清了门路,知道领袖选择账房的方式。如果领袖选择清点编号在$[a,b]$内的银行财产，他会先对$[a,b]$的财产求和（记为$product$），然后在编号属于$[1,product]$的账房中选择一个去清点存款，检验自己计算是否正确同时也检验账房与 GFS 是否有勾结。GFS 发现如果某个账房的编号 $number$与$product$相冲，领袖绝对不会选择这个账房。

怎样才算与$product$不相冲呢？若存在整数 $x,y$ 使得$number\times x+product\times y=1$，那么我们称$number$与$product$不相冲，即该账房有可能被领袖相中。当领袖又赚大钱了的时候，他会在某个银行改变存款，这样一来相同区间的银行在不同的时候算出来的$product$可能是不一样的，而且领袖不会在某个银行的存款总数超过$10^6$ 。

现在 GFS 预先知道了领袖的清点存款与变动存款的计划，想请你告诉他，每次清点存款时领袖有多少个账房可以供他选择，当然这个值可能非常大，GFS 只想知道对 $19961993$ 取模后的答案。

输入格式

第一行一个整数$x$表示领袖清点和变动存款的总次数。

接下来$x$行，每行$3$个整数$a_i,b_i,c_i$ 。$a_i$为$0$时表示该条记录是清点计划，领袖会清点$b_i$到$c_i$的银行存款，你需要对该条记录计算出 GFS 想要的答案。$a_i$
为$1$时表示该条记录是存款变动，你要把银行$b_i$的存款改为$c_i$ ，不需要对该记录进行计算。

输出格式

对于每个询问，输出一行一个整数表示答案。

输入输出

输入 #1

6
0 1 3
1 1 5
0 1 3
1 1 7
0 1 3
0 2 3

输出 #1

18
24
36
6

数据范围

所有数据均满足：$x\ge 1x\ge 1，c_i-b_i\ge 0$。

思路

又是一道根本不知道怎么用树状数组解的题目。

不过呢，看到$number\times x+product\times y=1$这个式子，我们自然而然地可以想到“若$a,b$互质，则有$ax+by=1$”这个结论。所以我们可以看出，$number$和$product$一定是一对互质数。

题目中要求统计与$product$“相冲”的$number$的个数，而$number$又$⩽product$，于是我们可以想到用专门求“小于或等于$n$的正整数中与$n$互质的数的数目”的欧拉函数“$\phi (n)$”。

到这里，最基本的问题就解决了。

接下来的问题是，我们如何存储$3^{100000}$这么大的数呢？

当然是质因数分解啦！

我们把每个银行的存的钱的数目进行质因数分解，再用树状数组统计每个数各有哪些质因子。这样做的好处是，既可以存储$3^{100000}$这么大的数，又可以方便我们对欧拉函数中的${\prod }_{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})$进行运算。

当我们拿到一个$[b,c]$的区间时，我们可以先将$[b,c]$之间的数所拥有的质因子乘起来，算出$product$，再算$\phi (product)$。

于是，我们就有了计算$\phi (product)$的式子：
$$\phi (product)=\prod _{i=1}^n{p}_i^{k_i}\times \prod _{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})$$
其中，$n$为$product$的质因子的个数，$p_i$为$product$的每个质因子，$k_i$为对应$p_i$的指数。

不过，因为这里涉及分数以及除法，不方便在计算机中计算，所以我们需要把这个式子变形一下。

首先，“$\times$”号右边的式子可以变形一下，变成：
$$\phi (product)=\prod _{i=1}^n{p}_i^{k_i}\times \prod _{i=1}^n\frac{p_i-1}{p_i}$$

接着，由于每个$p_i$既要乘$k_i$次，又要除$1$次，所以我们又可以把式子变成：
$$\phi (product)=\prod _{i=1}^n{p}_i^{k_i-1}\times \prod _{i=1}^n{p}_i-1$$

再变一下，就成了：
$$\phi (product)=\prod _{i=1}^n(p_i^{k_i-1}\times p_i-1)$$

这样就方便我们在计算机里计算了。

最后，不要忘记在计算的时候进行取模运算，不要忘记用long long类型，否则答案会爆。

感谢做题过程中大佬们的谆谆教诲。

代码

#include<cstdio>
using namespace std;
const long long N=100000,MOD=19961993;
long long n,a,b,c,tre[61][2*N+1],mon[N+1],pro;//树状数组存每个数分解质因数的结果 
long long prime[60+1];
bool vis[281+1];
void Euler()
{
	long long cntA=0;
	for(int i=2;i<=281;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			cntA++;
			prime[cntA]=i;
		}
		for(int j=1;j<=cntA&&i*prime[j]<=281;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=true;
			if(!i%prime[j])
				break;
		}
	}
}
long long lowbit(int i)
{
	return i&(-i);
}
void update(long long i,long long j,long long x)//i：质因子的编号；j：数的下标；x：质因子个数；
{
	while(j<=N)
	{
		tre[i][j]+=x;
		j+=lowbit(j);
	}
}
long long index(long long i,long long j)//i：质因子的编号；j：数的下标；
{
	long long ans=0;
	while(j>0)
	{
		ans+=tre[i][j];
		j-=lowbit(j);
	}
	return ans;
}
void decompose(long long n,long long j,long long p)//p：判断对树状数组中的某个值是+还是-；
{
	long long cntB;
	for(long long i=1;i<=60;i++)
	{
		cntB=0;
		while(!(n%prime[i]))
		{
			cntB++;
			n/=prime[i];
		}
		if(cntB)
			update(i,j,cntB*p);
	}
}
long long fast_power(long long n,long long m)//快速幂
{
	long long ans=1;
	while(m>0)
	{
		if(m%2)
			ans=ans*n%MOD;
		n=n*n%MOD;
		m/=2;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	Euler();
	scanf("%d",&n);
	for(long long i=1;i<=N;i++)
	{
		mon[i]=3;
		update(2,i,1);//每个数最开始都是3，分解质因数后都等于3
	}
	for(long long i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		if(a)//修改 
		{
			decompose(mon[b],b,-1);//分解质因数
			mon[b]=c;
			decompose(mon[b],b,1);
		}
		else//查询
		{
			pro=1;
			for(long long j=1;j<=60;j++)
			{
				long long cntC=0;
				cntC=index(j,c)-index(j,b-1);//求product的质因子prime[i]的指数
				if(!cntC)
					continue;
				pro=pro*fast_power(prime[j],cntC-1)*(prime[j]-1)%MOD;//上文提到的欧拉函数的变形
			}
			printf("%d\n",pro%MOD);
		}
	}
	return 0;
}