Luogu_P1879 [USACO06NOV]Corn Fields G-优快云博客

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该博客介绍了USACO竞赛中的一道题目，名为"Corn Fields G"。题目要求计算在一块M行N列的牧场中，不选择相邻地块种植的情况下，所有可能的种植方案数。博客提供了输入输出格式，并给出了解题思路，涉及到动态规划和状态转移方程。最后，博客给出了问题的代码实现。

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Corn Fields G

链接

Luogu_P1879 [USACO06NOV]Corn Fields G

题目描述

Farmer John has purchased a lush new rectangular pasture composed of $M$ by $N (1 \leq M \leq 12; 1 \leq N \leq 12)$ square parcels. He wants to grow some yummy corn for the cows on a number of squares. Regrettably, some of the squares are infertile and can’t be planted. Canny FJ knows that the cows dislike eating close to each other, so when choosing which squares to plant, he avoids choosing squares that are adjacent; no two chosen squares share an edge. He has not yet made the final choice as to which squares to plant.

Being a very open-minded man, Farmer John wants to consider all possible options for how to choose the squares for planting. He is so open-minded that he considers choosing no squares as a valid option! Please help Farmer John determine the number of ways he can choose the squares to plant.

农场主John新买了一块长方形的新牧场，这块牧场被划分成 $M$ 行 $N$ 列 $(1 \leq M \leq 12; 1 \leq N \leq 12)$ ，每一格都是一块正方形的土地。John打算在牧场上的某几格里种上美味的草，供他的奶牛们享用。

遗憾的是，有些土地相当贫瘠，不能用来种草。并且，奶牛们喜欢独占一块草地的感觉，于是John不会选择两块相邻的土地，也就是说，没有哪两块草地有公共边。

John想知道，如果不考虑草地的总块数，那么，一共有多少种种植方案可供他选择？（当然，把新牧场完全荒废也是一种方案）

输入格式

第一行：两个整数 $M$ 和 $N$ ，用空格隔开。

第2到第 $M + 1$ 行：每行包含 $N$ 个用空格隔开的整数，描述了每块土地的状态。第 $i + 1$ 行描述了第 $i$ 行的土地，所有整数均为 $0$ 或 $1$ ，是 $1$ 的话，表示这块土地足够肥沃， $0$ 则表示这块土地不适合种草。

输出格式

一个整数，即牧场分配总方案数除以 $100, 000, 000$ 的余数。

输入输出样例

输入 #1复制

2 3
1 1 1
0 1 0

输出 #1复制

解析

本题需要使用状压DP。

设 $f_{i,j}$ 表示第 $i$ 行的状态为 $j$ 时放奶牛的方案总数。其中， $j$ 在二进制下第 $k$ 位若为 $1$ ，表示在第 $i$ 行第 $k$ 列放奶牛，否则表示不放奶牛。

状态转移方程为：
$f_{i,j}=\sum_{j'=0}^{2^n-1}f_{i-1,j'}$

同时，某些 $j$ 是不合法的。

若一个 $j$ ，能使 $\And (j \div 2)\ne 0$ 或 $\And (j \times 2) \ne 0$ 中任意一个成立，则这个 $j$ 为非法，因为这表示这个状态下有两头奶牛左右相邻。

对于奶牛所在草地是否贫瘠、奶牛是否左右相邻用类似方法判断。

代码

#include<cstdio>
using namespace std;
int m,n,x,f[13][1<<13],ans,a[13];
const int mod=100000000;
bool checka(int x)//判断是否有左右相邻奶牛 
{
	if(x&(x<<1)||x&(x>>1))
		return false;
	else
		return true;
}
bool checkb(int x,int y)//判断奶牛是否在贫瘠草地
{
	if((x&y)==x)
		return true;
	else
		return false;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			a[i]*=2;
			scanf("%d",&x);
			a[i]+=x;
		}
	}
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=0;j<=(1<<n)-1;j++)//枚举第i行奶牛放置情况 
		{
			if(checka(j)&&checkb(j,a[i]))
			{
					for(int k=0;k<=(1<<n)-1;k++)
					{
						if(!(k&j))//判断是否有上下相邻奶牛
							f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][k])%mod;
					}
			}
		}
	for(int i=0;i<=(1<<n)-1;i++)
		ans=(ans+f[m][i])%mod;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}