[luogu8353] [SDOI2022 d2t2] 无处存储 - 卡空间 - 树分块 - 虚树 - 随机算法

传送门：P8353 [SDOI/SXOI2022] 无处存储

免责声明：我不是本题的出题人。

出题人是小N和小 $\Omega$ ，跟我小Z有什么关系？
题目大意：给定一棵树，点有点权，支持链加、链求和。强制在线。
（先别急着说“为什么省选放模板题”，接着往下看。）
数据范围： $n\le 7\times 10^6，q\le 5\times 10^4$。
时空限制：$5s,64MB$ 。
——是的你没看错，卡空间题！更准确地说，跟一些比较屑的、卡一些实现不优秀正解的空间常数的相比，这题是一个纯纯的需要你设计算法来卡空间的题！
——对此，我的评价是：

也难怪出题人对自己题目的评价是：

“出题人爬！”
“为什么要喷自己？”
“如果我主动喷自己的话，就没有选手来喷我了吧（大概吧”

我们冷静分析一下这个数据范围和空间限制意味着什么：
一个大小为 $n=7\times 10^6$ 的int数组需要大约 $26.7MB$ 的空间，也就是说最多只能开 $2$ 个。
显然需要一个数组存所有的点权，另外需要一个数组存每个点在树上的父亲。
然后就没了，你没法开下任何 $O(n)$ 级别的数据结构，甚至没法直接dfs整棵树，因为栈空间也要算在内。
——那还玩个啥？只能暴力了？
冷静分析：其实 $64MB$ 的限制没有想象中那么死，大概还留下接近 $10MB$ 来给我们开一些 $o(n)$ 的小数组，比如 $O(\sqrt{n})$ 甚至 $O(n/\log n)$ 的数组还是能开的，包括 $n/32$ 的bitset（每个不到 $1MB$）也可以开好几个。
如果你还在想 $\log$ 做法，可以就此打住了。据我所知，空间最小的 $\log$ 做法应该是树剖+树状数组，即使考虑到人工栈dfs+数组复用，$4n$ 的空间是避免不了的。由此可以大胆猜测这一定是个根号题，而看到这个数据范围不难猜应该是 $O(q\sqrt{n})$ 一类的算法。
当然你也许会想到一些奇技淫巧的卡空间技巧，比如：考虑到fa数组只有低 $24$ 位是有用的，或许可以强行用 $3$ 个int存储 $4$ 个数。但遗憾的是，即使你将此方法运用到极致，也刚好无法开下第 $3$ 个 $O(n)$ 的数组（需要至少 $65MB$ ）。不过放心，以下的 $2$ 个数组解法完全无需依赖这一卡空间方法。
我们姑且先弱化问题。序列上怎么做？这还用说？树状数组只需要2n的空间。
众所周知的一种分块方法是：每个单点维护（不含标记的）权值，每个块内维护这个块的和，以及这个块的整体加标记。修改时整块打标记，零散暴力；查询时整块直接查，零散暴力。时间复杂度 $O(q\sqrt{n})$ ，空间 $n+O(\sqrt{n})$ （只需要开一个 $O(n)$ 的数组）。
放到树上呢？当然是树分块了！这个名词听起来就相当哈人，这里推荐一种相对好写的树分块写法：
在树上随机撒 $O(\sqrt{n}$