期望概率 - LightOJ - 1027 - A Dangerous Maze

最新推荐文章于 2021-10-20 17:06:35 发布

FlushHip

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分类专栏：动态规划考研数学文章标签： lightoj 合并

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本文介绍了一种迷宫逃脱问题的解决方法，通过概率论和高等数学原理，将问题简化为0-1分布，推导出逃出迷宫时间期望的计算公式，并提供了一个C++实现的代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：[点这儿].

题意：

你在一个迷宫里，迷宫里有n扇门，每扇门有且只有下面两种功能之一：

花费x分钟逃出迷宫；
花费x分钟回到原来的位置.

你选着任意一扇门的概率相等，问你逃出迷宫的时间的期望.

解析：

这个题的关键是把能逃出迷宫的门合并起来，把回到原位置的门合并起来，这样每次选择就变成了一个0-1分布，然后列式子化简。

设逃出迷宫的门(已经合并了)的逃出时间的期望是 $EA=\frac{sum_a}{a}$ ，回到原位置的门的花费时间的期望是 $EB=\frac{sum_b}{b}$ ;由题可知下列关系： $sum=sum_a+sum_b,n=a+b$ 。

选择逃出迷宫的门的概率 $p_a=\frac{a}{n}$ ，选择回到原位置的门的概率 $p_b=\frac{b}{n}$ ;

设第 $k$ 次逃出迷宫，那么在前 $k-1$ 次就必须选择回到原位置的门，故第 $k$ 次逃出迷宫的概率为 $P_k=p_a*p_a^{k-1}$ ，第 $k$ 次逃出迷宫的时间为 $T_k=EA+(k-1)*EB$ ，因此总时间为
$T = \sum k = 1 \infty P k * T k = p a * [E A * \sum k = 1 \infty p k - 1 b + E B * p b \sum k = 1 \infty (k - 1) * p k - 2 b]$ $T=\sum_{k=1}^\infty P_k*T_k=p_a*[EA*\sum_{k=1}^\infty p_b^{k-1}+EB*p_b\sum_{k=1}^\infty (k-1)*p_b^{k-2}]$
应用无穷级数的和函数或者等比公式求和可以算出来最终结果为 $T = s u m a$ $T=\frac{sum}{a}$
没错，就是这么简单，学好概率论和高等数学还是有用的.

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int gcd(int x, int y)
{
    return y ? gcd(y, x % y) : x;
}

int main()
{
    int T, K = 1;
    for (cin >> T; T--; K++) {
        int n, x, a = 0, sum = 0;
        cin >> n;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> x;
            if (x > 0)
                ++a;
            sum += abs(x);
        }
        cout << "Case " << K << ": ";
        if (!a)
            cout << "inf";
        else {
            int g = gcd(sum, a);
            cout << sum / g << "/" << a / g;
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}