简单递推 - 动态规划 - LightOJ - 1122 - Digit Count

最新推荐文章于 2024-10-01 18:52:56 发布

FlushHip

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分类专栏：动态规划文章标签：动态规划 lightoj dp

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/FlushHip/article/details/78591984

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本文探讨了一道关于从1-9数字集合中挑选数字构成特定位数的数字的问题，要求相邻数字之差的绝对值不大于2。通过动态规划的方法解决此问题，并提供了两种实现代码，一种使用二维数组，另一种采用map来优化空间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：[点这儿].

题意：

给你一个1-9的数字集合，要你从中挑选出n的数字，构成n位数，数字可重复挑选，构成的n位数要满足一个条件：

任意相邻的两个数字之差的绝对值要小于等于2.

问你有多少种构造方式.

解析：

很明显的线性动态规划，首先第i位数字的状态可以根据第i-1位数字的状态转移过来；

设dp[i][j]表示第前i位且最后一位为j的构造方案数，那么根据条件：任意相邻的两位数字之差的绝对值不超过2，可以得出状态转移方程：
$d p i, j = \sum k = - 2 2 d p i - 1, j + k (i < n, j \in S)$ $dp_{i,j}=\sum_{k=-2}^2dp_{i-1,j+k} \qquad(i<n,j\in S)$

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    int T, K = 1;
    for (cin >> T; T--; K++) {
        int m, n;
        cin >> m >> n;
        vector<int> arr(m);
        vector<vector<int> > dp(n + 1, vector<int>(10, 0));
        for (int i = 0; i < m; i++)
            cin >> arr[i], dp[0][arr[i]] = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++)
            for (size_t j = 0; j < arr.size(); j++)
                for (int k = -2; k <= 2; k++)
                    if (arr[j] + k < 10 && arr[j] + k > 0)
                        dp[i][arr[j]] += dp[i - 1][arr[j] + k];
        int ans = 0;
        for (size_t i = 0; i < arr.size(); i++)
            ans += dp[n - 1][arr[i]];
        cout << "Case " << K << ": " << ans << endl;
    }
    return 0;
}

可以用一个map来代替数组，这样程序的写法会简单，且空间会减少，是一种好的写法.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    int T, K = 1;
    for (cin >> T; T--; K++) {
        int m, n, x;
        cin >> m >> n;
        map<int, int> dp, tmp;
        for (int i = 0; i < m; i++)
            dp[cin >> x, x] = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (map<int, int>::iterator it = dp.begin(); it != dp.end(); ++it)
                for (int k = -2; k <= 2; k++)
                    tmp[it->first] += dp.find(it->first + k) == dp.end() ? 0 : dp[it->first + k];
            dp.swap(tmp);
            tmp.clear();
        }
        int ans = 0;
        for (map<int, int>::iterator it = dp.begin(); it != dp.end(); ++it)
            ans += it->second;
        cout << "Case " << K << ": " << ans << endl;
    }
    return 0;
}