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最新推荐文章于 2022-07-16 21:11:29 发布

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探讨在一个网格内放置石子的问题，确保特定行和列至少有一个石子。使用组合数学中的容斥原理来计算所有可能的放置方式。

题意：在一个n行m列的网格内放k个石子，每个网格最多放一个，且保证第一行，第一列，最后一行，最后一列均要有石子。求有多少种不同放法。

容斥计数问题。我们考虑不符合要求的放法，即第一行r1、第一列c1、最后一行rn、最后一列cm中至少有一个没有石子。计某个事件这样的方案数为S，则答案为S(r1) U S(rn) U S(c1) U S(cm)，然后用容斥计算即可，答案为S(r1) + S(rn) + S(c1) + S(cm) - S(r1&&rn) - S(r1&&c1) - S(r1&&cm) - S(rn&&c1) - S(rn&&cm) - S(c1&&cm) + S(r1&&rn&&c1) + S(r1&&rn&&cm) + S(r1&&c1&&cm) + S(rn&&c1&&cm) - S(r1&&rn&&c1&&cm)。然后用总方案数C(n*m，k)减去这个不符合要求的即可。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int MAX = 505;
const int MOD = 1e6 + 7;
int C[MAX][MAX];
int n, m, k;

void initial()
{
    memset(C, 0, sizeof(C));
    for(int i = 0; i < MAX; i++)
    {
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j <= i/2; j++)
            C[i][j] = C[i][i - j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1])%MOD;
    }
}

int main()
{
    initial();
    int T;
    scanf("%d", &T);
    for(int t = 1; t <= T; t++)
    {
        scanf("%d%d%d", &m, &n, &k);
        int all = C[n*m][k], no = 0;
        no += 2*(C[(n - 1)*m][k] + C[n*(m - 1)][k]);
        no -= C[(n - 2)*m][k] + C[n*(m - 2)][k] + 4*C[(n - 1)*(m - 1)][k];
        no += 2*(C[(n - 2)*(m - 1)][k] + C[(n - 1)*(m - 2)][k]);
        no -= C[(n - 2)*(m - 2)][k];
        int ans = ((all - no)%MOD + MOD)%MOD;
        printf("Case %d: %d\n", t, ans);
    }
    return 0;
}