网络流 (费用流+拆边)——Transportation ( HDU 3667 )

• 题目链接：
  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3667

• 分析：
  给出N个城市，M条路，K个货物，每条路的费用系数$a_i$和最大运送数量C，求把K个货物从城市1运送到N需要的最小费用，每条路的费用为一个系数$a_i$乘以在这条路上运送的货物数量的平方。一看便是一个最大流最小费用，不过费用为动态的，所以我们可以采用拆边的方法，把动态的费用变成静态的边。

• 题解
  1.拆边方法：
  把$a_i×X^2$ （X表示第i条路上的货物）拆成C条路（C条路费用和 为 最大运输量时的最大费用）：

scanf("%d%d%d%d", &u, &v, &a, &c);
for(int j=1;j<=c;j++)
    Add(u,v,1, a*(2*j-1)); //拆成C条路

2.SPFA遍历出最小花费：

bool vis[MaxN];
int dist[MaxN];
int pre[MaxN];
int s,t,aug;
int ans;
int KK;
bool SPFA()
{
    int k,p,V;
    queue <int> q;
    MST(pre,-1);
    CLR(vis);
    for(int i=0;i<=n;i++)
      dist[i] = INF;
    q.push(s);
    vis[s] = 1;
    dist[s] = 0;
    while(!q.empty())//寻找最短路
    {
        k = q.front();
        q.pop();
        vis[k] = 0;
        for(p = head[k]; p!=-1; p=edge[p].next)
        {
            V = edge[p].v;
            if(edge[p].flow && (edge[p].cost + dist[k] < dist[V]))
            {
                dist[V] = edge[p].cost + dist[k];
                pre[V] = p;
                if(!vis[V])
                {
                    q.push(V);
                    vis[V] = 1;
                }
            }
        }
    }
    if(dist[t] == INF) return false;
    aug =INF+1;
    for(p = pre[t]; p!= -1; p = pre[edge[p].u])//沿着增广路走一遍
    {
        aug = min(aug, edge[p].flow);        
    }
    for(p=pre[t]; p!= -1; p = pre[edge[p].u])//更新残余网络
    {
        edge[p].flow -= aug;
        edge[p^1].flow += aug;
    }
    ans += dist[t]*aug;
    KK += aug;
    return true;
}

• AC代码：

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
#define CLR(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int MaxN = 105;
const int MaxM = MaxN*5000;
const int INF = 10000000;
int N,M,K;
struct node
{
    int u,v,flow,cost;
    int next;
}edge[MaxM];
int cont;
int head[MaxN];
int n;//node numbers
void add(int u, int v, int flow, int cost)
{
    edge[cont].u = u;
    edge[cont].v = v;
    edge[cont].flow = flow;
    edge[cont].cost = cost;
    edge[cont].next = head[u];
    head[u] = cont++;
}
void Add(int u, int v, int flow , int cost)
{
    add(u,v,flow,cost);
    add(v,u,0,-cost);
}
void init()
{
    memset(head, -1,sizeof(head));
    cont = 0;
    n = 0;
}
bool vis[MaxN];
int dist[MaxN];
int pre[MaxN];
int s,t,aug;
int ans;
int KK;
bool SPFA()
{
    int k,p,V;
    queue <int> q;
    MST(pre,-1);
    CLR(vis);
    for(int i=0;i<=n;i++)
      dist[i] = INF;
    q.push(s);
    vis[s] = 1;
    dist[s] = 0;
    while(!q.empty())
    {
        k = q.front();
        q.pop();
        vis[k] = 0;
        for(p = head[k]; p!=-1; p=edge[p].next)
        {
            V = edge[p].v;
            if(edge[p].flow && (edge[p].cost + dist[k] < dist[V]))
            {
                dist[V] = edge[p].cost + dist[k];
                pre[V] = p;
                if(!vis[V])
                {
                    q.push(V);
                    vis[V] = 1;
                }
            }
        }
    }
    if(dist[t] == INF) return false;
    aug =INF+1;
    for(p = pre[t]; p!= -1; p = pre[edge[p].u])
    {
        aug = min(aug, edge[p].flow);
    }
    for(p=pre[t]; p!= -1; p = pre[edge[p].u])
    {
        edge[p].flow -= aug;
        edge[p^1].flow += aug;
    }
    ans += dist[t]*aug;
    KK += aug;
    return true;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d%d", &N, &M, &K))
    {
        init();
        s=0;
        t=N;
        for(int i=0;i<M;i++)
        {
            int u,v,a,c;
            scanf("%d%d%d%d", &u, &v, &a, &c);
            for(int j=1;j<=c;j++)
              Add(u,v,1, a*(2*j-1));
        }
        Add(s,1,K,0);
        n = N;  
        ans = 0;
        KK=0;
        while(SPFA());
        if(KK < K) ans = -1;
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}