同余与扩展欧几里得解模线性方程——CLooooops（POJ 2115）

最新推荐文章于 2021-03-20 17:00:23 发布

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#模线性方程 #扩展欧几里得 #ACM #同余

ACM算法(题解)：同时被 2 个专栏收录

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本文介绍如何解决特定形式的模线性方程问题，通过扩展欧几里得算法找到满足条件的最小非负整数解。文章提供了一段完整的C++代码实现，并讨论了在计算过程中应注意的数据类型选择问题。

题目链接：
http://poj.org/problem?id=2115
分析：
题目大意为求解能使得 A + x * C = B 的最小的x
， 0 ≤ x < 2^k .
题解：
我们可以先构造模线性方程，原式转换为 x * C = B - A ，即有 C*x = B - A (mod 2^k)，（此处用到了模运算规则），得出标准模线性方程，利用扩展欧几里得即可求解。
注意：int类型的移位计算如果超过30位会导致结果不准确，所以需要使用_int64 整数类型。
AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

__int64 x, y;

__int64 Extended_Euclid(__int64 a, __int64 b) {
      if (b == 0) {
         x = 1;
         y = 0;
         return a;
      }
      __int64 m = Extended_Euclid(b, a % b);
      __int64 tmp = x;
      x = y;
      y = tmp - a / b * y;
      return m;
}

int main()
{
    __int64 a, b, c, k;

    while (scanf ("%I64d%I64d%I64d%I64d", &a, &b, &c, &k)) {
        if (!a && !b && !c && !k) break;
        __int64 d = (__int64)1<<k; //此处先讲1转化为64位，否则系统默认1为int型，右移32位会溢出
        __int64 e = Extended_Euclid(c, d);
        if ((b-a) % e) { printf ("FOREVER\n"); continue; }
        __int64 t = d / e;
        x = (x  * (b - a) / e % t + t) % t;
        printf ("%I64d\n", x);
    }
    return 0;
}