扩展欧几里得算法（内含GCD，LCM）

1. 最大公约数性质：

   • 定理：如果a，b是不全为0的任意整数，则gcd(a, b)是a与b的线性组合{ax+by:x,y∈Z}中的最小正元素。
   • 推论1：对于任意整数a，b，如果d|a并且d|b，则d|gcd(a, b)。
   • 推论2：对于所有整数a和b以及任意非负整数n，gcd(an, bn)=n*gcd(a,b)。
   • 推论3：对所有正整数n，a和b，如果n|ab并且gcd(a, n)=1，则n|b。

2. 欧几里得算法求最大公约数：

int gcd(int a, int b)
{
    return b==0?a:gcd(b, a%b);
}

1. 扩展欧几里得算法：
   1.（求二元一次方程 ax+by=c 的整数解）若c mod gcd(a, b) == 0, 则该方程存在整数解，否则不存在整数解

   • 定理：对于不完全为0的非负整数a，b，gcd（a，b）表示a，b的最大公约数d，必然存在整数对x，y，使得gcd（a，b）=d=ax+by

   • 对于gcd(a,b) = d，对(a, b)用欧几里德辗转相除会最终得到(d, 0)。此时对于把a =d, b = 0 代入a*x + b*y = d，显然x = 1，y可以为任意值。

   • gcd = d = b*x + (a%b)*y
     gcd = d = b*x + (a - [a/b]*b)*y)
     gcd = d = a*y0 + b*(x0 - [a/b]*y0)

   • 由上式子可以推出 a*x + b*y = d的解为x = y0, y = x0 - [a/b]*y0；

   • 代码：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{   
    if(b==0)
    { 
        x=1,y=0; 
        return a; 
    }    
    int ret=exgcd(b,a%b,x,y);   
    int tmp=x;   
    x=y; 
    y=tmp-a/b*y;   
    return ret;
}

1. ( 求模线性方程 ax ≡ b(mod n)的解 )，假设对整数x, y，有gcd(a, n) = ax’ + ny’ ，则方程 ax≡ b ( mod n )有一个解的值为x0.
   
   • 满足：x0 = x’ * (b/d) mod n.
     ax0 ≡ ax’(b/d) (mod n)
     ≡ d(b/d) (mod n)
     ≡ b (mod n)
   • 代码：

Modular_Linear
    int Modular_Linear(int a, int b, int n)
    {    
    //ax = b (mod n)
        int d, x, y, x0, i;
        d = Extend_Euclid(a, n, x, y);
        if(b%d == 0)
        {
            x0 = x * (b/d) % n + n;//x0为任意一个解
            for(i = 0;i < d;i ++)
               cout << (x0 + i*n/d) % n <<endl;//方程由d个解
        }
        return 0;
     }

1. 最小公倍数：

LCM(a, b) = a / GCD(a, b) × b
//先除后乘 防止数字过大爆炸