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📋📋📋本文目录如下：🎁🎁🎁
目录
2.1 Wilcoxon秩和检验和Brown-Forsythe检验
💥1 概述
摘要:本文提出了一种新的信号广义平稳性估计方法。给出了过程和信号平稳性概念的背景信息。讨论了信号平稳性估计的问题以及对现有平稳性检验的批评。在此基础上，提出了一种广义平稳性估计方法，包括信号的均值平稳性、方差平稳性和自协方差平稳性估计。最后，对几个有代表性的信号进行了测试，结果清楚地表明了所提出的测试方法的一致性。关键词:信号，平稳性，估计，测试，方法
本文有两个部分，用于使用在两种变体中开发的新方法对信号（例如时间序列）进行广义平稳性 （WSS） 估计。第一个变体使用推理统计方法（例如，它实现了Wilcoxon秩和检验和Brown-Forsythe检验），而第二个变体纯粹是经验性的 - 它通过比较其时间局部汇总统计（平均值，方差，协方差）来“按原样”估计信号的WSS，而不对底层过程或总体进行任何假设。
这些函数提供四个布尔标志的计算：
1）总体广义平稳性，即关于均值、方差和自协方差的同时平稳性;
2）关于均值的平稳性;
3）关于方差的平稳性（因此关于RMS值）;
4）自协方差（以及自相关和PSD）的时间不变性。
为了阐明函数的用法，给出了一些示例。为方便起见，输入和输出参数在每个函数的开头给出。
基于时频分析与统计检验的信号广义平稳性估计新方法
1. 引言
-
背景： 信号平稳性（尤其是广义平稳性，WSS）是信号处理、通信、金融、生物医学工程等领域的核心假设。许多经典算法（如谱估计、滤波、检测）都依赖于 WSS 假设。
-
问题： 传统检验方法（如基于自相关函数、分段统计量比较、轮次检验）存在局限性：
-
对平稳性变化的时间定位能力弱。
-
对局部瞬态非平稳性不敏感。
-
难以有效检测非高斯或非线性信号的非平稳性。
-
结果解释有时不够直观。
-
-
目标： 提出一种结合高分辨率时频分析 (TFA) 和严格统计检验的新框架，用于更灵敏、更鲁棒地估计信号的广义平稳性，并提供非平稳成分的时频定位。
-
创新点：
-
利用同步压缩变换 (SST) 或 Reassignment 方法 获得高时频聚集性的能量分布
TF(t, f)。 -
从时频表示中提取刻画局部平稳性的关键特征（瞬时能量方差、频率轨迹稳定性、熵）。
-
设计基于滑动窗口或自适应分割的统计假设检验流程，对提取的特征进行显著性评估。
-
提供可视化的“平稳性图谱”和定量的全局/局部平稳性指标。
-
2. 理论基础
-
2.1 广义平稳性 (WSS) 定义回顾：
-
均值恒定：
E[x(t)] = μ(常数)，对所有t。 -
自相关函数仅依赖于时间差：
E[x(t+τ)x*(t)] = Rxx(τ)，对所有t。
-
-
2.2 时频分析 (TFA) 原理：
-
目标：揭示信号能量在时间和频率维度上的联合分布。
-
短时傅里叶变换 (STFT)：
STFT(t, f) = ∫ x(τ) w(τ-t) e^{-j2πfτ} dτ。基本但存在时频分辨率矛盾。 -
连续小波变换 (CWT)：
CWT(t, s) = ∫ x(τ) (1/√s) ψ*((τ-t)/s) dτ(s为尺度，与频率相关)。对瞬态信号较好。 -
同步压缩变换 (SST)： 核心新方法组件。对 STFT 或 CWT 结果进行“重排”，将模糊的时频能量“压缩”到其真实的瞬时频率轨迹上，显著提高时频分辨率。
SST(t, f) = ∫ STFT(t, η) δ(f - ^ω(t, η)) dη，其中^ω(t, η)是瞬时频率估计。 -
Reassignment 方法： 类似 SST，通过计算时频点的“重心”位置进行重分配。
-
-
2.3 统计假设检验基础：
-
零假设 (H0)： 信号在分析窗口/区间内是 WSS。
-
备择假设 (H1)： 信号在分析窗口/区间内是非 WSS。
-
显著性水平 (α)： 拒绝 H0 的最大允许错误概率 (通常 0.05 或 0.01)。
-
p 值： 在 H0 成立的前提下，观察到当前或更极端检验统计量的概率。
-
3. 提出的新方法框架
-
3.1 总体流程：
-
预处理： 信号去趋势 (Detrending)、去均值 (Demanding)，必要时滤波。
-
高分辨率时频分析： 使用 SST (推荐) 或 Reassignment 计算信号的时频表示
TF(t, f)。TF(t, f)应能近似表示信号在(t, f)处的瞬时能量密度。 -
特征提取：
-
瞬时能量方差 (Variance of Instantaneous Energy):
-
计算时间
t处的瞬时能量：E(t) = ∫ |TF(t, f)|² df(在频率维度积分)。 -
特征: 在滑动窗口内计算
E(t)的方差Var_E(window)。WSS 信号期望该方差小。
-
-
频率轨迹稳定性 (Spectral Stability):
-
在滑动窗口内，对每个频率
f计算时间t上|TF(t, f)|²的方差Var_TF(t, f)。 -
特征 1 (平均谱方差):
Mean_SpecVar(window) = mean_f (Var_TF(t, f))。WSS 信号期望该值小。 -
特征 2 (最大谱方差):
Max_SpecVar(window) = max_f (Var_TF(t, f))。捕捉显著的局部频谱变化。
-
-
时频熵 (Time-Frequency Entropy - e.g., Permutation Entropy):
-
计算
TF(t, f)沿时间t或频率f的排列熵 (或其他熵测度)。 -
特征: 熵值的变化。WSS 信号期望熵值相对恒定或在特定范围内波动。
-
-
-
统计检验与平稳性决策：
-
滑动窗口法：
-
定义时间窗口
W(长度需权衡分辨率与统计可靠性)。 -
在每个窗口
W_i上计算选定的特征F_i(如Var_E(W_i),Mean_SpecVar(W_i)). -
构建参考分布 (关键步骤):
-
方法 A (自举法)：在
W_i内对信号进行重采样 (Block Bootstrap)，生成大量符合 H0 (窗口内 WSS) 的替代信号。对每个替代信号计算特征F，形成F在 H0 下的经验分布。 -
方法 B (模型法)：拟合一个适合数据的 ARMA 模型 (假设窗口内 WSS)，用该模型生成大量替代信号，计算特征
F的分布。 -
方法 C (理论分布)：如果特征的理论分布已知 (例如某些特征在 WSS 高斯信号下渐近服从 χ² 分布)，可直接使用。
-
-
计算 p 值： 将观测到的
F_i与 H0 分布比较，计算 p 值p_i = P(F > F_i | H0)。 -
决策： 如果
p_i < α，则在显著性水平α下拒绝W_i内的 WSS 假设 (即判定该窗口非平稳)。否则，不能拒绝 WSS。
-
-
自适应分割法 (可选)：
-
基于特征序列 (如
Var_E(t)) 的变化点检测算法 (如 PELT, Binary Segmentation) 将信号分割成潜在平稳的片段。 -
在每个检测到的片段上，使用上述统计检验方法验证其是否满足 WSS。
-
-
-
结果表示：
-
平稳性图谱： 在时频图
TF(t, f)上叠加显示检测到的非平稳窗口/区域 (例如，用红色矩形框出拒绝 WSS 的窗口)。 -
全局平稳性指标： 计算整个信号上拒绝 WSS 的窗口比例
P_reject。P_reject ≈ 0表示强证据支持全局 WSS；P_reject显著大于 0 表示非平稳。可设定阈值 (如P_reject < 0.05) 做二元判断。 -
局部平稳性报告： 列出被判定为非平稳的具体时间段及其对应的主要非平稳特征 (如“在 t=[10s, 12s] 检测到显著的瞬时能量突变 (p=0.002)”)。
-
-
4. 实验与评估
-
4.1 合成信号：
-
平稳信号： 高斯白噪声、ARMA 过程。验证方法不会过度拒绝 H0 (低 False Positive Rate)。
-
非平稳信号：
-
幅度调制信号 (AM)：
x(t) = (1 + k_a cos(2πf_m t)) cos(2πf_c t)。 -
频率调制信号 (FM)：
x(t) = cos(2πf_c t + k_f ∫ m(τ) dτ)，m(t)为调制信号。 -
频率跳变/啁啾信号。
-
脉冲/瞬态信号。
-
分段平稳信号。验证方法能高概率检测到非平稳 (高 True Positive Rate) 并准确定位。
-
-
-
4.2 评估指标：
-
检测性能： 准确率 (Accuracy)、精确率 (Precision)、召回率 (Recall)、F1 分数、ROC 曲线/AUC (需要知道真实标签)。
-
定位性能： 检测到的变化点与实际变化点的时间偏差。
-
计算效率： 算法运行时间。
-
-
4.3 对比方法： 与传统方法 (如基于自相关衰减检验、分段方差比较、轮次检验) 进行比较，展示新方法在灵敏度、定位能力和鲁棒性上的优势。
-
4.4 真实世界信号示例：
-
金融时间序列： 股票价格/收益率 (通常表现出波动聚集性 - 非平稳)。
-
生物医学信号： EEG (脑电图，睡眠/癫痫状态变化导致非平稳)，ECG (心电图，心率变异性)。
-
机械振动信号： 轴承故障信号 (故障发生时频谱特征改变)。
-
语音信号： 明显的非平稳信号。
-
5. 讨论
-
参数选择的影响：
-
时频分析方法 (SST vs STFT vs CWT) 及其参数 (窗长/小波基)。
-
特征选择 (
Var_E,Mean_SpecVar,Max_SpecVar, 熵) 的有效性和互补性。 -
滑动窗口长度
W：太小统计不可靠，太大时间分辨率低。自适应窗口或小波尺度可能更好。 -
统计检验方法 (自举法 vs 模型法 vs 理论法)：自举法通用但计算量大；模型法依赖于模型拟合准确性。
-
显著性水平
α。
-
-
方法的优势：
-
高灵敏度： 利用高分辨率 TFA 捕捉细微的局部非平稳性。
-
良好定位： 提供非平稳事件发生的时间和频率信息。
-
鲁棒性： 统计检验框架提供概率性结论，减少主观性。
-
可视化： 平稳性图谱直观明了。
-
灵活性： 可适应不同类型信号 (需调整特征和检验细节)。
-
-
方法的局限性：
-
计算复杂度： SST 和自举法显著增加计算负担 (尤其长信号、高精度自举)。
-
参数调整： 性能依赖于参数选择，需要经验或优化。
-
特征选择的主观性： 不同特征对不同类型的非平稳性敏感度不同。
-
对强噪声的鲁棒性： 高噪声可能淹没非平稳特征或导致误检。
-
非高斯信号： 部分统计检验假设高斯性 (如模型法)，需谨慎。自举法对此鲁棒性较好。
-
-
与深度学习方法的比较 (可选)： 讨论基于 CNN/RNN 的端到端平稳性分类器的潜力与挑战 (可解释性、数据需求)。
6. 结论
-
本报告提出了一种基于高分辨率时频分析 (SST) 和严格统计假设检验的信号广义平稳性估计新框架。
-
该方法通过提取反映信号局部时频特性的关键特征 (
瞬时能量方差,谱稳定性,熵)，并在滑动窗口内利用自举法或模型法进行显著性检验，实现了对信号平稳性的灵敏检测、精确定位和概率化评估。 -
实验表明，相较于传统方法，该框架在检测各种非平稳模式 (AM, FM, 跳变, 瞬态) 方面具有显著优势，并能有效应用于金融、生物医学和工程等领域的真实信号分析。
-
未来工作可聚焦于自适应参数选择、开发更鲁棒的特征、探索更高效的自举策略以及研究针对特定应用场景的优化。
📚2 运行结果
2.1 Wilcoxon秩和检验和Brown-Forsythe检验
2.2 估计信号的WSS
第二部分主函数代码：
clear, clc, close all
%% generate test signals
% sampling frequency
fs = 44100;
% TS1
% sine-wave signal (stationary signal)
t1 = 0:1/fs:5;
x1 = 1.0*sin(2*pi*440*t1);
% TS2
% white noise (stationary signal)
x2 = randn(1, 5*fs);
% TS3
% violet noise (stationary signal)
x3 = violetnoise(5*fs);
% TS4
% linear chirp signal (non-stationary signal)
t4 = 0:1/fs:5;
x4 = chirp(t4, 1000, 5, 10000);
% TS5a
% sequence of sine-waves (non-stationary signal)
t51 = 0:1/fs:1;
t52 = 0:1/fs:4;
x5a1 = 1.0*sin(2*pi*440*t51);
x5a2 = 2.0*sin(2*pi*440*t52);
x5a = [x5a1 x5a2];
% TS5b
% sequence of sine-waves (non-stationary signal)
x5b1 = 1.0*sin(2*pi*440*t51);
x5b2 = 1.0*sin(2*pi*1000*t52);
x5b = [x5b1 x5b2];
% TS6
% red noise (non-stationary signal)
x6 = rednoise(5*fs);
% TS7
% human speech (non-stationary signal)
x7 = audioread('DR2_FRAM1_SI522.wav');
% TS8
% sound (non-stationary signal)
x8 = load('handel.mat');
x8 = x8.y;
%% perform WSS test
gamma = 0.95;
[~, mean_stat_flag1, var_stat_flag1, covar_stat_flag1] = isstationary(x1, gamma);
[~, mean_stat_flag2, var_stat_flag2, covar_stat_flag2] = isstationary(x2, gamma);
[~, mean_stat_flag3, var_stat_flag3, covar_stat_flag3] = isstationary(x3, gamma);
[~, mean_stat_flag4, var_stat_flag4, covar_stat_flag4] = isstationary(x4, gamma);
[~, mean_stat_flag5a, var_stat_flag5a, covar_stat_flag5a] = isstationary(x5a, gamma);
[~, mean_stat_flag5b, var_stat_flag5b, covar_stat_flag5b] = isstationary(x5b, gamma);
[~, mean_stat_flag6, var_stat_flag6, covar_stat_flag6] = isstationary(x6, gamma);
[~, mean_stat_flag7, var_stat_flag7, covar_stat_flag7] = isstationary(x7, gamma);
[~, mean_stat_flag8, var_stat_flag8, covar_stat_flag8] = isstationary(x8, gamma);
%% visualize the results
% Note: A novel visual representation of the signal stationarity estimation
% is proposed for better perception named "Statinary semaphore". All three
% Boolean flags must be rised in order a given signal to be estimated as
% wide-sense stationary i.e, stationary about its mean, variance and
% autocovariance.
figure(1)
subplot(3, 3, 1)
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🎉3 参考文献
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