【ZROI】【高维前缀和】【lucas定理】【17 提高 2】World Of Our Own-优快云博客

本文介绍了一种高效计算特定序列中所有子集的异或和的方法，通过使用高维前缀和技巧来减少计算复杂度。具体地，文章解释了如何通过分析组合数的奇偶性，并结合卢卡斯定理，来确定哪些子集对最终答案有贡献。

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第3步a0^a1^a1^a2^a1^a2^a2^a3

第2步a0^a1^a1^a2 a1^a2^a2^a3

第1步a0^a1 a1^a2 a2^a3

第0步a0 a1 a2 a3

每次的合并操作相当于每个数往上走一步或是往左上走一步，那么，最终第 $i$ 个数在第 $j$ 步走到位置0

（将原来1~n重新编号为0~n-1，这样可以方便计算）的方案数为 $C_{j}^{i}$ （在总共的j步中需要走i步向左上角的）。那么，我们会发现，一个数对答案有贡献只有当 $C_{j}^{i}$ 为奇数，即 $C_{j}^{i}mod 2=1$ ，考虑卢卡斯定理， $C_{j}^{i}mod 2=C_{j/2}^{i/2}*C_{jmod2}^{imod2}mod2$ ，相当于每次把i和j的二进制最后一位抓出来再删掉，只有当 $jmod2=0,imod2=1$ 时， $C_{jmod2}^{imod2}mod2=0$ ，所以当i为j的子集时，i对第j步的答案有贡献。

所以我们要做的就是计算j的所有子集的异或和，可以用高维前缀和。

计算前缀和有两种办法，一种是利用容斥，即

for(int i=1;i<=n;i++)
 for(int j=1;j<=m;j++)sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];

还有另一种方法

for(int i=1;i<=n;i++)
 for(int j=1;j<=m;j++)sum[i][j]=sum[i-1][j]+a[i][j];
for(int j=1;j<=m;j++)
 for(int i=1;i<=n;i++)sum[i][j]+=sum[i][j-1];

其中的第二种方法对于高维前缀和也是适用的。

如果要计算子集的前缀和，就可以将二进制数的每一位看成一维，然后计算高维前缀和。

代码如下：

for(int j=0;j<=log2(n);j++)
 for(int i=0;i<n;i++) if((i>>j)&1)a[i]^=a[i^(1<<j)];

时间复杂度： $O(nlogn)$

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define maxn 8000006
#define LL long long
using namespace std;
int n,b,c,d,a[maxn];
LL ans;
int main(){
    freopen("C.in","r",stdin);
    freopen("C.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d%d%d",&n,&a[0],&b,&c,&d);int N=log2(n);
    for(int i=1;i<n;i++)a[i]=((LL)a[i-1]*a[i-1]%d+(LL)a[i-1]*b%d+c)%d;
    for(int j=0;j<=N;j++)
     for(int i=0;i<n;i++)
      if((i>>j)&1)a[i]^=a[i^(1<<j)];
    for(int i=0;i<n;i++)ans^=(LL)a[i]*((LL)i+1);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}