高维前缀和总结

最新推荐文章于 2025-05-28 18:50:14 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/heyuhhh/p/11585358.html

这篇博客介绍了高维前缀和的概念及其在解决子集和超集问题中的应用。通过二维和三维前缀和的求解方法，阐述了高维前缀和如何将复杂度降低到(O(ncdot 2^n))。文中还提到了高维前缀和在处理子集和超集问题中的转换，并给出了一道相关例题。

今天中午不知怎么的对这个东西产生了兴趣，感觉很神奇，结果花了一个中午多的时间来看QAQ
下面说下自己的理解。

高维前缀和一般解决这类问题：

对于所有的\(i,0\leq i\leq 2^n-1\)，求解\(\sum_{j\subset i}a_j\)。

显然，这类问题可以直接枚举子集求解，但复杂度为\(O(3^n)\)。如果我们施展高维前缀和的话，复杂度可以到\(O(n\cdot 2^n)\)。

说起来很高级，其实代码就三行：

for(int j = 0; j < n; j++) 
    for(int i = 0; i < 1 << n; i++)
        if(i >> j & 1) f[i] += f[i ^ (1 << j)];

相信大家一开始学的时候就感觉很神奇，这是什么东西，这跟前缀和有什么关系？
好吧，其实看到后面就知道了。

二维前缀和

一维前缀和就不说了，一般我们求二维前缀和时是直接容斥来求的：
\[ sum_{i,j}=sum_{i-1,j}+sum_{i,j-1}-sum_{i-1,j-1}+a_{i,j} \]
但还有一种求法，就是一维一维来求，也可以得到二