二进制的相关思考

二进制的相关思考

---

第1步：先回忆十进制
姐妹你想象一下，我们平时用的数字是 十进制（满10进1）：
比如数字 5 就是 5（简单直接）。

但计算机用 二进制（满2进1），只有 0 和 1 两个数字。我们得把5“翻译”成二进制对吧。

---

第2步：二进制其实是“分糖果”
想象你有5块糖，现在要用 2的幂次（1,2,4,8,16…）的盒子来装，每个盒子只能装 0个或1个，怎么装？

• 最大的盒子是4（2²）：能装下吗？能！5 - 4 = 1，还剩1块糖 ✅
• 下一个盒子是2（2¹）：还剩1块，装不下2，所以这个盒子放0 ❌
• 最小的盒子是1（2⁰）：剩下的1块刚好装进去 ✅

于是你用了 1个4的盒子、0个2的盒子、1个1的盒子，组合起来就是 101！

---

第3步：用数学验证
把二进制的每一位 乘对应的2的幂次，再相加：

1 0 1
↓ ↓ ↓
1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 4 + 0 + 1 = 5

结果正好是5，说明正确！🎉

---

第4步：换一种方法——除法取余法

1. 5 ÷ 2 = 2 余1 → 记录 1（最右边的第一位）
2. 2 ÷ 2 = 1 余0 → 记录 0（中间第二位）
3. 1 ÷ 2 = 0 余1 → 记录 1（最左边的第三位）
4. 从下往上读余数：101

---

🌰 举个栗子：
就像搭积木，二进制是 用2的倍数来拼出数字。5的积木组合是 4+1，对应二进制就是 101（有4的位置写1，没2的位置写0，有1的位置写1）。

---

总结：
二进制就像用不同大小的盒子（2的幂次）装糖，能装就标1，不能装标0，最后连起来就是答案！5的二进制是 101

一、先回顾二进制基础

二进制只有 0 和 1，每一位代表 2的幂次。比如：

1011（二进制）= 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8+0+2+1 = 11（十进制）

---

二、二进制四则运算

1. 加法：像“凑满2个就进位”

• 规则

  ：

  0 + 0 = 0  
  0 + 1 = 1  
  1 + 1 = 10  （个位写0，向高位进1）
  

• 例子

  ：计算

  1101 + 1011
  

    1 1 0 1  
  + 1 0 1 1  
  -----------
  1 1 0 0 0
  

  步骤分解

  ：

  1. 从右往左加：
     • 第1位：1+1=0，进1
     • 第2位：0+1+进位1=0，进1
     • 第3位：1+0+进位1=0，进1
     • 第4位：1+1+进位1=1，进1
     • 最高位补进位1 → 结果 11000（十进制24）

---

2. 减法：借位时“借1当2”

• 规则

  ：

  0 - 0 = 0  
  1 - 0 = 1  
  1 - 1 = 0  
  0 - 1 = 1 （需向高位借1，变成2-1=1）
  

• 例子

  ：计算

  1010 - 0101
  

  1 0 1 0  
    -   0 1 0 1  
    ------------
        0 1 0 1
  

  步骤分解

  ：

  1. 对齐位数，补0成 1010 - 0101
  2. 从右往左减：
     • 第1位：0-1 → 借位，变成 2-1=1，高位被借后变0
     • 第2位：0-0=0（原高位被借过，现在是0）
     • 第3位：1-1=0
     • 第4位：0-0=0 → 结果 0101（十进制5）

---

3. 乘法：移位相加

• 规则：乘0得0，乘1得原数，最后相加。

• 例子

  ：计算

  101 × 11
  

      1 0 1  
    ×   1 1  
    ---------
      1 0 1   ← 101×1（对应第1位）  
    1 0 1     ← 101×1（对应第2位，左移一位）  
  ---------
    1 1 1 1
  

  结果

  ：

  1111
  

  （十进制15）

---

4. 除法：不断减去除数

• 例子

  ：计算

  1101 ÷ 101
  

  （即13 ÷ 5）

  商：10（二进制）  
  余数：11（二进制）
  

  步骤分解

  ：

  1. 比较

     1101
     

     和

     101
     

     ：

     • 101×2=1010（十进制10） ≤ 1101（13）
     • 余数：1101 - 1010 = 011（3）

  2. 最终：商是 10（十进制2），余数 11（3）。

当然 对于十进制怎么转化二进制，我提供方法：

---

方法一：除2取余法（推荐！）

口诀：除2取余，倒着读
步骤（以数字 13 为例）：

1. 不断除以2，记录余数：

   13 ÷ 2 = 6 余1 → 记下1（最右边第一位）
   6  ÷ 2 = 3 余0 → 记下0（第二位）
   3  ÷ 2 = 1 余1 → 记下1（第三位）
   1  ÷ 2 = 0 余1 → 记下1（最左边第四位）
   

   余数顺序：1 → 0 → 1 → 1（从下往上读）

2. 倒序排列余数：
   把余数从最后一步到第一步连起来 → 1101
   ✅ 验证：1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13

---

方法二：找最大的2的幂次（适合小数字）

口诀：找最大的2ⁿ，依次减，能减写1
步骤（以数字 10 为例）：

1. 列出小于10的2的幂次：
   2⁰=1、2¹=2、2²=4、2³=8（下一个是16，超过了10）
2. 从大到小尝试减：
   • 8（2³）：10 - 8 = 2 → 能减，标 1
   • 4（2²）：剩下2，不够减4 → 标 0
   • 2（2¹）：2 - 2 = 0 → 标 1
   • 1（2⁰）：剩下0 → 标 0
3. 组合结果：1010
   ✅ 验证：1×8 + 0×4 + 1×2 + 0×1 = 10

---

对比两种方法

方法	适用场景	例子（10转二进制）
除2取余	任意大小数字，尤其适合手算	10 → 1010
幂次减法	小数字，直观易理解	10 → 1010

---

🌰 生活化比喻

把十进制数想象成 一堆积木，二进制就是用 不同大小的2ⁿ积木块（1,2,4,8…）来拼出这个数。比如拼10：

• 用 8（最大块） → 剩2
• 用 2 → 刚好用完
• 不用4和1 → 最终组合：8+2 = 10 → 二进制 1010

---

常见错误自查

1. 余数顺序写反 → 记得倒着读余数！
2. 漏写最高位的1 → 比如数字8是1000，不是0001
3. 没减到0就停止 → 必须除到商为0为止！