【数据结构】之树状数组与线段树的咋题题面加代码不解释

原创 已于 2024-07-29 14:49:37 修改 · 575 阅读 · 10 ·
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#数据结构 #算法

于 2024-07-29 13:48:13 首次发布

树状数组 1 ：单点修改，区间查询

题目描述

输入一个数列A1,A2….An(1<=N<=100000)，在数列上进行M(1<=M<=100000)次操作，操作有以下两种：

(1) 格式为C I X，其中C为字符“C”，I和X(1<=I<=N,|X|<=10000)都是整数，表示把把a[I]改为X

(2) 格式为Q L R，其中Q为字符“Q”，L和R表示询问区间为[ L ,R] (1<=L<=R<=N)，表示询问A[L]+…+A[R]的值。

输入格式

第一行输入N(1<=N<=100000)，表述数列的长度;

接下来N行，每行一个整数(绝对值不超过10000)依次输入每个数；

接下来输入一个整数M(1<=M<=100000)，表示操作数量，接下来M行，每行为C I X或者Q L R。

输出格式

对于每个Q L R 的操作输出答案。

input

5
1
2
3
4
5
3
Q 2 3
C 3 9
Q 1 4

output

5
16

数据规模与约定

时间限制：1s
空间限制：256MB

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100010
int n,a[N],c[N],m,l,r;
char ch;
int lowbit(int x){
   
   return x&-x;}
void add(int x,int y){
   
   while(x<=n)c[x]+=y,x+=lowbit(x);}
int work(int x)
{
   
   
	int sum=0;
	while(x>0) sum+=c[x],x-=lowbit(x);
	return sum;
}
int main()
{
   
   
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
   
   cin>>a[i];add(i,a[i]);}
	cin>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
   
   
		cin>>ch>>l>>r;
		if(ch=='C') add(l,r-a[l]),a[l]=r;
		else cout<<work(r)-work(l-1)<<endl;
	}
	return 0;
}

数星星

题目描述

天文学家经常要检查星星的地图，每个星星用平面上的一个点来表示，每个星星都有坐标。我们定义一个星星的“级别”为给定的星星中不高于它并且不在它右边的星星的数目。天文学家想知道每个星星的“级别”。

                        5
                      *
                    4
                  *
                1       2   3
              *       *   *

例如上图，5号星的“级别”是3（1，2，4这三个星星），2号星和4号星的“级别”为1。

给你一个地图，你的任务是算出每个星星的“级别”。

输入格式

输入的第一行是星星的数目N(1<=N<=60000),接下来的N行描述星星的坐标(每一行是用一个空格隔开的两个整数X,Y,0<=X,Y<=32000)。

星星的位置互不相同。星星的描述按照Y值递增的顺序列出，Y值相同的星星按照X值递增的顺序列出。

输出格式

输出包含N行，一行一个数。第i行是第i个星星的“级别”

input

5
1 1
5 1
7 1
3 3
5 5

output

0
1
2
1
3

数据规模与约定

时间限制：1s
空间限制：256MB

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100010
int n,c[N],a,b;
int lowbit(int x){
   
   return x&-x;}
void add(int x,int y){
   
   while(x<32100)c[x]+=y,x+=lowbit(x);}
int work(int x)
{
   
   
	int sum=0;
	while(x) sum+=c[x],x-=lowbit(x);
	return sum;
}
int main()
{
   
   
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
   
   cin>>a>>b;a++,b++;cout<<work(a)<<endl;add(a,1);}
	return 0;
}

区间修改单点查询

题目描述

已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1.将某区间每一个数数加上x

2.求出某一个数的值

输入格式

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来M行每行包含2或4个整数，表示一个操作，具体如下：

操作1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k；

操作2： 格式：2 x 含义：输出第x个数的值。

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

样例数据
input

5 5
1 5 4 2 3
1 2 4 2
2 3
1 1 5 -1
1 3 5 7
2 4

output

6
10

数据规模与约定

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=8，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=500000，M<=500000

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1000100
int n,a[N],c[N],m,b,t,x,y,z;
int lowbit(int x){
   
   return x&-x;}
void add(int x,int y){
   
   while(x<=n)c[x]+=y,x+=lowbit(x);}
int work(int x)
{
   
   
	int sum=0;
	while(x>0) sum+=c[x],x-=lowbit(x);
	return sum;
}
int main()
{
   
   
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
   
   
		scanf("%d",&t);
		if(t==1){
   
   scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);add(x,z);add(y+1,-z);}
		else {
   
   scanf("%d",&x);printf("%d\n",a[x]+work(x));}
	}
	return 0;
}

打鼹鼠

题目描述

SuperBrother在机房里闲着没事干(再对比一下他的NOIP,真是讽刺啊…),于是便无聊地开始玩“打鼹鼠”…

在这个“打鼹鼠”的游戏中，鼹鼠会不时地从洞中钻出来，不过不会从洞口钻进去（鼹鼠真胆大……）。洞口都在一个大小为n(n<=1024)的正方形中。这个正方形在一个平面直角坐标系中，左下角为(0,0)，右上角为(n-1,n-1)。洞口所在的位置都是整点，就是横纵坐标都为整数的点。而SuperBrother也不时地会想知道某一个范围的鼹鼠总数。这就是你的任务。

输入格式

每个输入文件有多行。

第一行，一个数n，表示鼹鼠的范围。

以后每一行开头都有一个数m，表示不同的操作：

m=1，那么后面跟着3个数x,y,k(0<=x,y<n)，表示在点(x,y)处新出现了k只鼹鼠；

m=2，那么后面跟着4个数x1,y1,x2,y2(0<=x1<=x2<n,0<=y1<=y2<n)，表示询问矩形(x1,y1)-(x2,y2)内的鼹鼠数量；

m=3，表示老师来了，不能玩了。保证这个数会在输入的最后一行。

询问数不会超过10000，鼹鼠数不会超过int。

输出格式

对于每个m=2，输出一行数，这行数只有一个数，即所询问的区域内鼹鼠的个数。

input

4
1 2 2 5
2 0 0 2 3
3

output

5

数据规模与约定

水题一道。 所有数据均为随机生成，包括样例……

时间限制：1s

空间限制：256MB

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans,n,m,x,y,xx,yy,k,a[2000][2000];
int lowbit(int x){
   
   return x&-x;}
void add(int x,int y,int k)
{
   
   
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		for(int j=y;j<=n;j+=lowbit(j))
			a[i][j]+=k;
}
int work(int x,int y)
{
   
   
	int sum=0;
	for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
		for(int j=y;j>0;j-=lowbit(j))
			sum+=a[i][j];
	return sum;
}
int main()
{
   
   
	scanf("%d",&n);
	while(1)
	{
   
   
		scanf("%d",&m);
		if(m==3) break;
		else if(m==1)
		{
   
   
			scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
			x++,y++;
			add(x,y,k);
		}
		else
		{
   
   
			scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&xx,&yy);
			ans=work(xx+1,yy+1)-work(xx+1,y)-work(x,yy+1)+work(x,y);
			printf("%d\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}

[USACO17JAN]Balanced Photo平衡的照片

题目描述

FJ正在安排他的N头奶牛站成一排来拍照。（1<=N<=100,000)序列中的第i头奶牛的高度是h[i]，且序列中所有的奶牛的身高都不同。

就像他的所有牛的照片一样，FJ希望这张照片看上去尽可能好。他认为，如果存在i满足max(Ri,Li)>2*min(Li,Ri)，第i头奶牛就是不平衡的。（Li和Ri分别代表第i头奶牛左右两边比她高的数量）。

也就是说，如果Li和Ri中的较大者严格来说是这两个数字中较小者的两倍以上，那么i就是不平衡的。

FJ不希望他有太多的奶牛不平衡，请你帮助FJ计算不平衡的奶牛数量。

输入格式

第一行一个整数N。

接下N行包括H[1]到H[n]，每行一个非负整数（不大于1,000,000,000)。

输出格式

一行，一个整数，表示不平衡的奶牛数量。

样例数据
input

7
34
6
23
0
5
99
2

output

3

数据规模与约定

时间限制：1s
空间限制：256MB

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100010
int n,c[N],a[N],z[N],y[N],ans,len,b[N];
int lowbit(int x){
   
   return x&-x;}
int add(int x,int y){
   
   while(x<=n)c[x]+=y,x+=lowbit(x);}
int work(int x)
{
   
   
	int sum=0;
	while(x>0)sum+=c[x],x-=lowbit(x);
	return sum;
}
int main()
{
   
   
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
   
   scanf("%d",&a[i]);b[i]=a[i];} 
	sort(b+1,b+n+1);
	len=unique(b+1,b+n+1)-(b+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(b+1,b+len+1,a[i])-b;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
   
   z[i]=i-1-work(a[i]);add(a[i],1);}
	memset(c,0,sizeof(c));
	for(int i=n;i>=1;i--) {
   
   y[i]=n-i-work(a[i]);add(a[i],1);}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(2*min(z[i],y[i])<max(z[i],y[i])) ans++;
	cout<<ans;
}

人品累加和

题目描述

人品是必不可少的，人品还是守恒的。每个人的人品都是不同的，并且有正的（选择题可以用骰子全过），也有负的。

jzyz有n (1 <= n <= 100,000)个学生,第i个人的人品值是A_i(-10,000 <= A_i <= 10,000).

jzyz决定重新规划寝室，要让每个寝室的人品和不小于0.寝室的人品和是这个寝室里所有人的人品和。

因为名单是按照学籍号给出的，所以，现在你不能调整学生的顺序，只能按照输入的顺序把学生依次分进各个寝室，当然，为了增加难度，每个寝室的人数可以不同，我们甚至可以把n个学生放在同一个寝室。我们的口号，人品比宿舍重要。

比如现在有4个人，人品分别是2, 3, -3, 1。我们可以按照下面分寝室：

(2 3 -3 1)
(2 3 -3) (1)
(2) (3 -3 1)
(2) (3 -3) (1)
这样保证每个寝室的人品和不小于0.

现在的问题是，如果按照这种原则，有多少种分寝室的方法。当然，方法可能很多，你只需要输出方案数对 1,000,000,009 取余数即可。

输入格式

第一行一个整数n

接下来n行，表示每个学生的人品A_i.

输出格式

一个整数，如题所求的那个余数

input

4
2
3
-3
1

output

4

数据规模与约定

40% n<=1000.
100% 数据如题目描述。
时间限制：1s
空间限制：256MB

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define MOD 1000000009
#define N 100010
int len,c[N],b[N],n,f[N],a[N],ans;
int lowbit(int x){
   
   return x&-x;}
void add(int x,int y){
   
   while(x<=n+1){
   
   f[x]+=y;f[x]%=MOD;x+=lowbit(x);}}
int ask(int x)
{
   
   
	int c=0;
	while(x){
   
   c=(c+f[x])%MOD;x-=lowbit(x);}
	return c%MOD;
}
signed main()
{
   
   
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
   
   scanf("%lld",&a[i]);c[i]=c[i-1]+a[i];b[i]=c[i];}
	sort(b+1,b+2+n);
	len=unique(b+1,b+2+n)-(b+1);
	for(int i=1;i<=1+n;i++){
   
   c[i]=lower_bound(b+1,b+n+2,c[i])-b;}
	add(c[n+1],1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
   
   ans=ask(c[i])%MOD;add(c[i],ans);}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

楼兰图腾

Description

在完成了分配任务之后，西部314来到了楼兰古城的西部。相传很久以前这片土地上(比楼兰古城还早)生活着两个部落，一个部落崇拜尖刀(‘V’)，一个部落崇拜铁锹(‘∧’)，他们分别用V和∧的形状来代表各自部落的图腾。

西部314在楼兰古城的下面发现了一幅巨大的壁画，壁画上被标记出了N个点，经测量发现这N个点的水平位置和竖直位置是两两不同的。西部314认为这幅壁画所包含的信息与这N个点的相对位置有关，因此不妨设坐标分别为(1,y1),(2,y2),…,(n,yn),其中y1~yn是1到n的一个排列。

西部314打算研究这幅壁画中包含着多少个图腾，其中V图腾的定义如下（注意：图腾的形式只和这三个纵坐标的相对大小排列顺序有关）1 <= i < j < k <= n且yi > yj,yj < yk;

而崇拜∧的部落的图腾被定义为1 <= i < j < k <= n且yi < yj , yj > yk;

西部314想知道，这n个点中两个部落图腾的数目。因此，你需要编写一个程序来求出V的个数和∧的个数。

= = = 精简版说明：

平面上有 N(N≤10^5 ) 个点，每个点的横、纵坐标的范围都是 1~N，任意两个点的横、纵坐标都不相同。

若三个点 (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3 )(x1​,y1​),(x2​,y2​),(x3​,y3​) 满足 x1<x2<x3,y1>y2x_1 < x_2 < x_3, y_1 > y_2x1​<x2​<x3​,y1​>y2​ 并且 y3>y2y_3 > y_2y3​>y2​，则称这三个点构成"v"字图腾。

若三个点 (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3 )(x1​,y1​),(x2​,y2​),(x3​,y3​) 满足 x1<x2<x3,y1<y2x_1 < x_2 < x_3, y_1 < y_2x1​<x2​<x3​,y1​<y2​ 并且 y3<y2y_3 < y_2y3​<y2​，则称这三个点构成"^"字图腾。

求平面上"v"和"^"字图腾的个数。
####Input Format

第一行一个数n

第二行是n个数，分别代表y1，y2……yny_1，y_2……y_ny1​，y2​……yn​

Output Format

两个数

中间用空格隔开

依次为V的个数和∧的个数

Sample Input
5
1 5 3 2 4
Sample Output
3 4
Hint

数据范围约定

10%的数据 n<=600

40%的数据 n<=5000

100%的数据 n<=200000，答案不超过int64
####Limitation

各个测试点1s

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define N 200010
int n,ans,a[N],r[N],l[N],c[N];
int lowbit(int x) {
   
   return x&-x;}
int ask(int x)
{
   
   
	int sum=0;
	while(x>0) sum+=c[x],x-=lowbit(x);
	return sum;
}
void add(int x,int y) {
   
   while(x<=n) c[x]+=y,x+=lowbit(x);}
signed main()
{
   
   
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
	memset(c,0,sizeof(c));
	for(int i=n;i;i--) {
   
   r[i]=ask(a[i]-1);add(a[i],1);}
	memset(c,0,sizeof(c));
	for(int i=1;i<=n;i++) {
   
   l[i]=ask(a[i]-1);add(a[i],1);}
	for(int i=1;i<=n;i++) ans+=(i-1-l[i])*(n-i-r[i]);  
	printf("%lld ",ans);
	ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans+=(l[i])*r[i];
	printf("%lld",ans);
}

A Simple Problem with Integers

题目描述

对于数列 A1A_1A1​, A2A_2A2​, … , ANA_NAN​. 你要进行2个操作：将一个区间的数同加上某个数，输出一段区间的和。

输入格式

第一行2个整数表示数列长度和操作次数. 1 ≤ N,Q ≤ 100000.

第二行为数列 A1, A2, … , AN. -1000000000 ≤ Ai ≤ 1000000000.

接下来的Q行操作：

“C a b c” 表示将 Aa, Aa+1, … , Ab.加上c. -10000 ≤ c ≤ 10000.

“Q a b” 输出区间[a,b]的和。

输出格式

输出所有询问的答案，每行1个。

样例数据
input

10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q 4 4
Q 1 10
Q 2 4
C 3 6 3
Q 2 4

output

4
55
9
15

数据规模与约定

时间限制：5s
空间限制：128MB

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define N 100010
int n,m,sum[N],a[N],c[2][N],ans,l,r,d;
int lowbit(int x){
   
   return x&-x;}
void add(int x,int y,int z){
   
   for(;y<=n;y+=lowbit(y))c[x][y]+=z;}
int ask(int x,int y){
   
   int ans=0;for(;y;y-=lowbit(y))ans+=c[x][y];return ans;}
signed main()
{
   
   
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
   
   scanf("%lld",&a[i]);sum[i]=sum[i-1]+a[i];}
	while(m--)
	{
   
   char op[2];
		scanf("%s%lld%lld",op,&l,&r);
		if(op[0]=='C')
		{
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题目描述 如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作： 将某一个数加上x 求出某区间每一个数的和 输入格式 第一行包含两个正整数n,m，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。 第二行包含n个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。 接下来m行每行包含33个整数，表示一个操作，具体如下： 1 x k含义：将第x个数加上k ...
线段树：单点修改与区间查询
yingjingxu的博客
08-17 1421
线段树。
线段树
遇见生活
12-10 515
1.线段树的每个节点都代表一个区间 2.线段树具有唯一的根节点，代表的区间是整个统计范围 3.线段树的每个叶子节点都代表一个长度为1的元区间 4.对于每个内部节点【l,r】，他的左子节点[l,mid],有子区间为[mid+1,r] 上图展示了一棵线段树。数的深度为logN，我们可以按照与二叉堆类似的“父子2倍”节点编号方法： 1.根节点编号为1. 2.编号为x的节点左子...
2340单点修改、区间查询
最新发布
2301_76979886的博客
03-13 293
【代码】2340单点修改、区间查询。
线段树：区间修改与单点查询
yingjingxu的博客
08-20 1363
线段树。
线段树详解（单点修改+区间修改和查询）
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菜鸡成长史
07-03 1万+
【...】 把之前做的线段树的理论总结做了一个整合和一点修改。 线段树不能只是会用板子而已，要理解并且熟练，不假思索分分钟就能敲出来才行。 单点修改+区间修改和查询 例题+代码 目录 【线段树】 【引入】 【概述】 【单点修改和查询】 【建树】 【单点修改】 【区间查询最小值】 【区间查询区间和】 【区间修改和查询】 【延迟标记】 【标记下传】 【标记永久化】 ...
树状数组的元素修改和查询
2301_79322308的博客
07-08 650
将区间[l, r]的每一个元素都加上k， 运用差分的思想相当于add(l, k), add(r + 1, -k)。区间修改同上面一样运用差分的思想，运用差分树状数组表示的是差分数组，如何用差分数组进行区间查询呢？而单点修改的区间查询[l, r]的区间值表示为get_sum(r) - getsum(l - 1);单点修改是对一个点的数值进行修改，但是t1树状数组中的每个元素的值存的是前缀和，和前缀和的思维一样，我们运用差分的思想。而求出某个数的值则转化为这个数原始的值加上这个数的变化。
树状数组（单点修改+区间查询）
weixin_66430194的博客
03-26 814
acwing算法提高课-数据结构-树状数组。
基本线段树以及相关例题
2301_80475191的博客
04-04 1083
线段树是一种，也就是对于一个线段，我们会用一个二叉树来表示。这个其实就是一个线段树，我们会将其每次从中间分开，其左孩子就是左边的集合的和，其右孩子就是右边集合的和；我们可以用一个结构体tree去表示线段树的结点，tree.L代表线段树左边界,tree.R代表线段树的右边界；因此我们可以得到一个结论，对于一个节点编号为i的结点，其左孩子的编号为i*2，其右孩子编号为i*2+1；那么首先写出我们的建树代码。
树状数组详解(一维+二维+差分+前缀和+公式优化)
pursuit的博客
04-27 2378
文章目录一、问题引入二、树状数组（单点修改，区间查询）三、差分树状数组（区间修改，单点查询）四、差分树状数组+公式优化（区间修改，区间查询）五、二维树状数组（单点修改，区间查询）六、二维差分树状数组（区间修改，单点查询）七、二维差分树状数组+公式推导（区间修改，区间查询） 一、问题引入 有这样一个问题:现在有这样一个数列aaa，你需要进行下面两种操作： 将某一个数加上 xxx 求出某区间[l,r][l,r][l,r]每一个数的和 数列长度为n(1≤n≤105)n( 1\leq n \leq 10^5)n
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