【考研数学】线形代数第一章 —— 行列式

一、基本概念与性质

1.1 基本概念

（一）逆序和逆序数

这个东西讲实话当初上课的时候是没有听过的（或者说是我不记得了），现在感觉也用的不是很多。网上也看了下，能大概看明白其实真正的数学是没有必要用逆序数来引进行列式的。我自己在后面的计算和应用中都是没有管这个逆序数的，当然到了后面，逆序数也几乎是消失了。考研大纲中也丝毫没提到这个排列和逆序，就不管它了。

（二）行列式

由 $n^2$ 个数组成的下列记号，称为 $n$ 阶行列式。

（三）余子式和代数余子式

把行列式 $D$ 中的元素 $a_{ij}$ 所在的整行整列去掉，剩下的 $(n-1)$ 阶行列式称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$ ，称 $(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，记为 $A_{ij}$ 。

1.2 特殊行列式

（一）上下三角、对角行列式

（二） 范德蒙德行列式

这个行列式的特征就比较明显，第一行全是 1 。举个栗子就能看明白下面的累乘符号了。$$V(a_1,a_2,a_3)=(a_3-a_2)(a_3-a_1)(a_2-a_1).$$

范德蒙德行列式不为 0 的充要条件是各个常数 a 互不相等。

（三） 分块行列式

除了第三个反对角，计算方法基本上和行列式里是一个数一样。

1.3 计算性质

（一）转换为上、下三角行列式

1. 行列式与其转置行列式相等。
2. 对调两行两列行列式改变符号。
3. 行列式某行或某列有公因式可以提到外面。
   3.1 若行列式某行或某列元素全为零，则该行列式为零。
   3.2 若行列式某两行或两列元素相同，行列式为零。
   3.3 某两行或两列对应成比例，行列式为零。
4. 某行或某列元素均为两个数之和时，可分解为两个行列式的和。
5. 某行或某列的倍数加到另一行或另一列，行列式不变。

（二）降阶性质

一个其实就是大家都会的的按行或者按列展开，如果出现某一行 0 比较多，就可以展开那一行，比较方便。

另一个就是某行（列）与另一行（列）的代数余子式之积的和为 0 。这个在一些灵活的题目上可以发挥作用。

当题目中出现 $A_{ij}$ 、$A^{\ast }$ （ $n$ 阶）时，应想到如下四个性质。

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，对应行列式的性质如下：

1. $|A^T|=|A|$
2. $|A^m|=|A{|}^m$
3. $|kA|=k|A|$ ，其中 $k$ 为常数。
4. $|AB|=|A|\cdot |B|$ （拉普拉斯法则）
5. 若 $A$ 可逆，则 $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}.$

二、应用

行列式的主要应用就是克雷姆法则了，用来判断方程组解的情况和求具体的解值。

对于齐次线性方程组：$AX=0.$

• 若方程组仅有零解 $⟷|A|\ne 0.$
• 若方程组有非零解 $⟷|A|=0.$

对于非齐次线性方程组：$AX=b,\overline{A}=[A|b].$

• 若方程组无解 $⟷r(A)\ne r(\overline{A}).$
• 若方程组有解 $⟷r(A)=r(\overline{A}).$
  • 若方程组有无数解 $⟷r(A)<n⟷|A|=0.$
  • 若方程组有唯一解 $⟷r(A)=n⟷|A|\ne 0.$ 且有：$$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D}\dots x_n=\frac{D_n}{D}.$$

其实这一块内容不应该放在这里的，等到后面方程组那一章学了大概再来看这里最好。如果有疑惑地方，可以等后面的文章出来，到时候还会再提到这个的。