对阵矩阵特征向量两两正交的证明

本文详细解析了对称矩阵特征向量的正交性原理,通过数学推导展示了不同特征值对应的特征向量必定正交,深化了对线性代数核心概念的理解。

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假设矩阵AAA是一个对称矩阵, xix_ixixjx_jxj是矩阵AAA的任意两个特征向量, λi\lambda_iλiλj\lambda_jλj是与xix_ixixjx_jxj相对应的特征值,则有:
(1)Axi=λixiAx_i=\lambda_i x_i \tag{1}Axi=λixi(1)
(2)Axj=λjxjAx_j=\lambda_j x_j \tag{2}Axj=λjxj(2)
将式(1)的两边左乘以xjTx_j^TxjT ,可得:
(3)xjTAxi=λixjTxix_j^TAx_i=\lambda_i x_j^T x_i \tag{3}xjTAxi=λixjTxi(3)
因为矩阵AAA是一个对称矩阵,可以对式(3)的左边做如下变换:
(4)xjTAxi=xjTATxi=(Axj)Txix_j^TAx_i=x_j^T A^T x_i = (Ax_j)^T x_i \tag{4}xjTAxi=xjTATxi=(Axj)Txi(4)
将式(2)代入式(4),可得:
(5)xjTAxi=(Axj)Txi=(λjxj)Txi=λjxjTxix_j^TAx_i=(Ax_j)^T x_i = (\lambda_j x_j)^T x_i = \lambda_j x_j^T x_i \tag{5}xjTAxi=(Axj)Txi=(λjxj)Txi=λjxjTxi(5)
结合式(3),可得:
(6)λixjTxi=λjxjTxi\lambda_i x_j^T x_i = \lambda_j x_j^T x_i \tag{6}λixjTxi=λjxjTxi(6)
即:(7)(λi−λj)xjTxi=0 (\lambda_i - \lambda_j)x_j^T x_i = 0 \tag{7}(λiλj)xjTxi=0(7)
因为λi≠λj\lambda_i \neq \lambda_jλi̸=λjxjTxix_j^T x_ixjTxi必然等于0。
由于xix_ixixjx_jxj是矩阵AAA的任意两个特征向量,所以命题得证。

以上内容编辑:崔宾阁

正定矩阵和拉普拉斯矩阵都是线性代数中的重要概念。正定矩阵是指对所有非零实数向量都保持不等式的矩阵,即对于任何非零向量 \( \mathbf{x} \),都有 \( \mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x} > 0 \)。它们通常有唯一的逆矩阵,并且这些逆矩阵本身也是正定的。 拉普拉斯矩阵(Laplacian Matrix)通常是图论中用来表示图的数学工具,它在无向图中定义为顶点之间的度差矩阵。如果 \( G = (V, E) \) 是一个无向图,其拉普拉斯矩阵 \( L \) 是一个方阵,其中 \( L_{ij} = d_i \delta_{ij} - A_{ij} \),其中 \( d_i \) 是顶点 \( i \) 的度(连接的边的数量),\( A \) 是邻接矩阵,\( \delta_{ij} \) 是 Kronecker 符号(\( 1 \) 如果 \( i = j \),否则为 \( 0 \))。 拉普拉斯矩阵的逆 \( L^{-1} \) 可能存在,但这取决于图的一些性质,如是否连通、是否有奇数圈等。对于连通的无向图,拉普拉斯矩阵通常是半正定的(所有特征值非负),但不是正定的。在这种情况下,\( L \) 可能不是正规矩阵,即 \( L \neq L^T \),所以它的逆可能不存在或者不是实数。 如果 \( L \) 具有可逆性,那么 \( L^{-1} \) 会提供关于图的重要信息,例如特征向量和特征值可以用于谱聚类等算法。然而,计算拉普拉斯矩阵的逆通常是一个复杂的问题,特别是对于大型图,可能会涉及到数值方法。 相关问题: 1. 正定矩阵和拉普拉斯矩阵的区别是什么? 2. 如何判断一个拉普拉斯矩阵是否可逆? 3. 拉普拉斯矩阵在哪些应用场景中会用到其逆?
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