假设矩阵AAA是一个对称矩阵, xix_ixi和xjx_jxj是矩阵AAA的任意两个特征向量, λi\lambda_iλi和λj\lambda_jλj是与xix_ixi和xjx_jxj相对应的特征值,则有:
(1)Axi=λixiAx_i=\lambda_i x_i \tag{1}Axi=λixi(1)
(2)Axj=λjxjAx_j=\lambda_j x_j \tag{2}Axj=λjxj(2)
将式(1)的两边左乘以xjTx_j^TxjT ,可得:
(3)xjTAxi=λixjTxix_j^TAx_i=\lambda_i x_j^T x_i \tag{3}xjTAxi=λixjTxi(3)
因为矩阵AAA是一个对称矩阵,可以对式(3)的左边做如下变换:
(4)xjTAxi=xjTATxi=(Axj)Txix_j^TAx_i=x_j^T A^T x_i = (Ax_j)^T x_i \tag{4}xjTAxi=xjTATxi=(Axj)Txi(4)
将式(2)代入式(4),可得:
(5)xjTAxi=(Axj)Txi=(λjxj)Txi=λjxjTxix_j^TAx_i=(Ax_j)^T x_i = (\lambda_j x_j)^T x_i = \lambda_j x_j^T x_i \tag{5}xjTAxi=(Axj)Txi=(λjxj)Txi=λjxjTxi(5)
结合式(3),可得:
(6)λixjTxi=λjxjTxi\lambda_i x_j^T x_i = \lambda_j x_j^T x_i \tag{6}λixjTxi=λjxjTxi(6)
即:(7)(λi−λj)xjTxi=0 (\lambda_i - \lambda_j)x_j^T x_i = 0 \tag{7}(λi−λj)xjTxi=0(7)
因为λi≠λj\lambda_i \neq \lambda_jλi̸=λj,xjTxix_j^T x_ixjTxi必然等于0。
由于xix_ixi和xjx_jxj是矩阵AAA的任意两个特征向量,所以命题得证。
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