对阵矩阵特征向量两两正交的证明

最新推荐文章于 2025-06-16 08:26:55 发布

山东科技大学遥感与机器智能实验室

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/DoctorCuiLab/article/details/82910837

本文详细解析了对称矩阵特征向量的正交性原理，通过数学推导展示了不同特征值对应的特征向量必定正交，深化了对线性代数核心概念的理解。

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假设矩阵 $A$ 是一个对称矩阵， $x_i$ 和 $x_j$ 是矩阵 $A$ 的任意两个特征向量， $λi\lambda_i$ 和 $λj\lambda_j$ 是与 $x_i$ 和 $x_j$ 相对应的特征值，则有：
$(1)Axi=λixiAx_i=\lambda_i x_i \tag{1}$
$(2)Axj=λjxjAx_j=\lambda_j x_j \tag{2}$
将式（1）的两边左乘以 $x_j^T$ ，可得：
$(3)xjTAxi=λixjTxix_j^TAx_i=\lambda_i x_j^T x_i \tag{3}$
因为矩阵 $A$ 是一个对称矩阵，可以对式（3）的左边做如下变换：
$(4)xjTAxi=xjTATxi=(Axj)Txix_j^TAx_i=x_j^T A^T x_i = (Ax_j)^T x_i \tag{4}$
将式（2）代入式（4），可得：
$(5)xjTAxi=(Axj)Txi=(λjxj)Txi=λjxjTxix_j^TAx_i=(Ax_j)^T x_i = (\lambda_j x_j)^T x_i = \lambda_j x_j^T x_i \tag{5}$
结合式（3），可得：
$(6)λixjTxi=λjxjTxi\lambda_i x_j^T x_i = \lambda_j x_j^T x_i \tag{6}$
即： $(\lambda_i - \lambda_j)x_j^T x_i = 0 \tag{7}$
因为 $λi≠λj\lambda_i \neq \lambda_j$ ， $x_j^T x_i$ 必然等于0。
由于 $x_i$ 和 $x_j$ 是矩阵 $A$ 的任意两个特征向量，所以命题得证。